粘度

動的粘度とせん断

ニュートン流体では、せん断応力は流れに垂直な速度勾配に比例し、τ=η du/dy。τ はせん断応力、η は動的粘度、du/dy は速度勾配です。η の SI 単位は Pa·s。動的粘度 η と、密度で割った動粘度 ν=η/ρ（m²·s⁻¹）は区別してください。両方とも流体力学で使いますが意味は同じではありません。

管内の層流

円管内のニュートン流体の定常層流では速度分布は放物線型で、中心が最も速くなります。固体壁では通常no-slip 条件を用い、壁に接した流体の速度は壁の速度と同じです。剛体円管のポアズイユ則は Q=πΔp r⁴/(8ηL)。定常層流、ニュートン流体、円形剛体管、壁面 no-slip を仮定します。一定流量なら粘度が大きいほど、管が長いほど、半径が小さいほど大きな圧力差が必要で、粘性摩擦により機械的エネルギーが内部エネルギーへ散逸します。

なぜ半径の影響がこれほど大きいのか

同じ Δp、L、η の理想ポアズイユ流では Q∝r⁴。半径の小さな変化が流量を大きく変えます。

低レイノルズ数での粘性抵抗

小さな球が十分ゆっくり動き、クリーピング流の条件を満たすと、ストークスの法則は F_d=6πηrv。抵抗は v² ではなく速度 v に比例します。落下球は重力、浮力、粘性抵抗がつり合うと終端速度に達します。粘性と慣性の相対的重要度は通常 Re=ρvD/η で表します。低 Re では粘性が支配的で滑らかな流れになりやすく、Re が増えると慣性や乱流が重要になります。遷移値は形状や擾乱に依存し、万能な一つのしきい値ではありません。

温度による粘度の変化

多くの液体は温度上昇で粘度が低下します。分子配置を変えやすくなるためです。一方、気体では温度上昇とともに粘度が増えることが一般的で、速い分子が層間の運動量をより効率よく運びます。この逆の傾向は、粘度が単なる「どろどろさ」ではなく輸送特性であることを示します。

すべての流体がニュートン流体ではない

非ニュートン流体では、せん断応力とせん断速度の関係を一定の η だけでは表せません。ケチャップや一部の高分子溶液はせん断薄化し、高濃度懸濁液はせん断増粘することがあります。履歴依存を示す材料もあります。したがってポアズイユ則やストークス則を使う前に、流動領域・形状・流体の構成則が仮定に合うか確認する必要があります。

例題

1. せん断応力

η=0.80 Pa·s、du/dy=3.0 s⁻¹ のニュートン流体。せん断応力は？

2. 管半径を変える

理想ポアズイユ層流で、圧力差・長さ・粘度を一定にして半径を2倍にすると流量は何倍？

3. ストークス抵抗

半径 1.0 mm の小球が、粘度 0.50 Pa·s の流体中を 0.020 m·s⁻¹ でゆっくり動きます。抵抗を見積もってください。