Viscosité
La viscosité mesure la résistance d’un fluide au cisaillement. Elle explique pourquoi le miel s’écoule plus lentement que l’eau, pourquoi un écoulement forme un profil de vitesse près d’une paroi et pourquoi le rayon d’un tube influence fortement son débit.
Viscosité dynamique et cisaillement
τ = η du/dy pour un fluide newtonien.
τ est la contrainte de cisaillement, η la viscosité dynamique et du/dy le gradient de vitesse perpendiculaire à l’écoulement. L’unité SI de η est Pa s.
Une grande viscosité signifie qu’une contrainte plus forte est nécessaire pour maintenir le même gradient de vitesse.
Écoulement laminaire dans un tube
En régime laminaire, les couches de fluide glissent de manière ordonnée. Pour un tube circulaire, un fluide newtonien et un écoulement pleinement développé, la loi de Poiseuille donne Q = πΔpR⁴/(8ηL).
Le terme R⁴ est essentiel : doubler le rayon idéal du tube multiplie le débit par 16 si les autres paramètres restent inchangés.
Traînée visqueuse à faible nombre de Reynolds
Une petite sphère se déplaçant lentement dans un fluide visqueux peut être décrite par la loi de Stokes : F = 6πηRv. Cette relation suppose notamment un écoulement rampant, donc un nombre de Reynolds très faible.
Elle aide à comprendre la vitesse limite de petites particules qui sédimentent dans un fluide. Lorsque la vitesse augmente et que l’inertie du fluide devient importante, cette loi n’est plus suffisante.
La température change la viscosité
Pour de nombreux liquides, la viscosité diminue fortement quand la température augmente : une huile chaude s’écoule plus facilement qu’une huile froide. Pour les gaz, la tendance est généralement inverse dans les conditions usuelles : la viscosité augmente avec la température.
Il faut donc toujours associer une valeur tabulée de viscosité à une température donnée.
Tous les fluides ne sont pas newtoniens
Dans un fluide newtonien, η est indépendante du taux de cisaillement dans le domaine considéré. Le sang, certaines peintures, les polymères fondus ou des suspensions concentrées peuvent avoir un comportement non newtonien.
Leur viscosité apparente peut diminuer ou augmenter avec le cisaillement, et certains présentent même une contrainte seuil avant de commencer à s’écouler.
Pourquoi le rayon du tube compte autant
Dans le modèle de Poiseuille, à pression, longueur et viscosité fixées, le débit volumique varie comme R⁴. Une petite variation de rayon peut donc changer fortement le débit.
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Exercices résolus
1. Effet du rayon
Dans le modèle de Poiseuille, que devient le débit si le rayon du tube augmente de 20 % ?
Solution
Q ∝ R⁴, donc le facteur est 1,2⁴ ≈ 2,07. Le débit est environ doublé.
2. Effet de la viscosité
À géométrie et pression identiques, la viscosité double. Que devient le débit laminaire idéal ?
Solution
Comme Q ∝ 1/η, le débit est divisé par deux.
3. Unités
Quelle est l’unité SI de la viscosité dynamique ?
Solution
Pa s, équivalent à N s m⁻² ou kg m⁻¹ s⁻¹.