ドップラー効果

動く音源は媒質中の波面間隔を変える

静止観測者に対して音源が媒質中を動くと、各周期の波面は少しずつ異なる位置から放射されます。接近側では波面が圧縮されて媒質中の波長が短くなり、後方では広がります。古典音響では f_obs = f_s v/(v ∓ v_s)。接近では分母 v − vₛ、遠ざかる場合は v + vₛ です。 波長からも式を導けます。音源は周期 T=1/fₛ ごとに波面を放ち、その間に先の波面は vT 進む一方、音源自身は vₛT 進みます。したがって前方波長は λfront=(v−vₛ)/fₛ となり、静止観測者は f=v/λ により高い周波数を受け取ります。

動く観測者は既存の波面を速くまたは遅く横切る

音源が媒質に対して静止し観測者が動く場合、媒質中の波長そのものは変わりません。観測者が既存の波面に出会う速度だけが変わります。f_obs = f_s(v ± v_obs)/v で、音源へ近づくときは +、遠ざかるときは − です。 観測者が動く場合、波面の配置は作り直されません。観測者が波面へ向かうと、波面との相対的な通過速度が v から v+vobs に増え、単位時間に出会う波面数が増えます。この導出から符号を判断すれば、暗記より混乱しにくくなります。

「相対速度」の式を入れ替えてはいけない

音は媒質を必要とするため、空気や水の静止系が特別な基準になります。音源の媒質に対する速度は波面間隔を変え、観測者の媒質に対する速度は波面を横切る頻度を変えます。真空中の光ではこの古典的な音の式を使わず、高速運動や天文学的な赤方偏移・青方偏移には相対論的な式を用います。 音源速度が音速へ近づく、あるいは超えると、単純な連続波面の絵は衝撃波やマッハコーンの問題へ移ります。低速の式をすべての領域へ機械的に外挿できません。また速度は必ず伝播媒質に対する速度として定義する必要があります。

ドップラー効果が変えるもの・変えないもの

音源の振動周波数が一定なら、運動で変わるのは受信周波数であり、音源の振動子が突然速くなったり遅くなったりする必要はありません。動く音源では媒質中の波長が変わり、動く観測者では既存の波長を別の速さで横切ります。 周波数と波長は媒質中で v=fλ を満たします。動く音源でも v は媒質の性質でほぼ決まるため、前方で受信周波数が上がるなら波長は短くなる必要があります。この関係は式の符号が物理的に妥当か確認する簡単な方法です。

視線方向の速度成分が古典的な周波数変化を決める

重要なのは音源と観測者を結ぶ線に沿った速度成分、つまり視線方向成分です。ある瞬間に完全な横方向運動なら、古典的な一階の視線方向ドップラーシフトはありません。車が通過するとこの成分の符号が接近から遠ざかる側へ変わるため、高い音から低い音への特徴的な変化が生じます。 車が最接近点を横切る瞬間、古典的な視線速度成分はゼロを通過し、一階の周波数シフトも基準をまたぎます。実際の聴感には距離による音量、加速度、反射も重なります。ドップラー式は周波数の仕組みを記述し、音量そのものを予測する式ではありません。

例題

1. 近づく音源

600 Hz のサイレンが 20 m·s⁻¹ で静止観測者へ近づきます。音速 340 m·s⁻¹。

2. 近づく観測者

500 Hz の音源は静止、音速 340 m·s⁻¹。観測者が 10 m·s⁻¹ で音源へ近づきます。

3. 通過時の音の変化

サイレンが通過すると高い音から低い音へ変わるのはなぜですか。