Всеобщо привличане
Законът на Нютон за всеобщото привличане описва привличането между маси с едно правило, което работи за падащи тела, планети и спътници. Силата отслабва с разстоянието, но не изчезва внезапно.
Всеобщата гравитационна сила
За две точкови маси или сферично симетрични тела, разглеждани отвън, големината на силата е F = Gm₁m₂/r². Разстоянието r е между центровете на масата, а G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Всяка маса привлича другата със същата по големина сила в противоположна посока, но ускоренията могат да се различават, защото a = F/m.
Това е закон на обратния квадрат: двойно по-голямо разстояние дава четири пъти по-малка сила. Използва се разстоянието между центровете, не само между повърхностите.
Гравитационно поле и тегло
Извън сферична маса гравитационното поле е g = GM/r². Близо до земната повърхност g ≈ 9,81 N kg⁻¹, числено същото като 9,81 m s⁻². Теглото на маса m е W = mg.
Астронавтите в орбита не са извън гравитацията. Те усещат безтегловност, защото корабът и всичко в него падат свободно заедно. Полето може да остане значително.
Сферични тела и ролята на радиуса
Извън сферично симетрично тяло гравитацията е същата, сякаш цялата маса е в центъра. Затова при височина се използва разстоянието от центъра на планетата. Вътре в еднородна сфера не може да се използва цялата маса в GM/r²; релевантна е масата, заключена в радиус r. Това следва от теоремата за сферичната обвивка.
Орбитите са траектории на падане
Орбитата е непрекъснато свободно падане. Тангенциалното движение води тялото напред, а гравитацията постоянно огъва вектора на скоростта към центъра. За кръгова орбита GMm/r² = mv²/r води до v = √(GM/r). По-високите кръгови орбити имат по-ниска скорост, но по-дълъг период.
Гравитационна потенциална енергия и бягство
При големи промени на разстоянието нулата на потенциалната енергия се избира при безкрайност: U = −GMm/r. Отрицателният знак показва свързана система. Скоростта на бягство от радиус R е vesc = √(2GM/R), ако пренебрегнем атмосферата и въртенето.
Силата и потенциалната енергия са две описания на едно взаимодействие. За кръгова орбита E = −GMm/(2r) е отрицателна, следователно спътникът е гравитационно свързан.
Решени примери
1. Удвояване на разстоянието
Две маси се привличат със сила F при разстояние r. Каква е силата при 2r?
Решение
Понеже F ∝ 1/r², F′ = F/2² = F/4.
2. Поле на разстояние 2R
Каква е стойността на g на 2R от центъра на Земята спрямо повърхността R?
Решение
g ∝ 1/r², така че g(2R) = g(R)/4. Това е една земна радиус-височина над повърхността.
3. Скорост на кръгова орбита
Изведете скоростта на малък спътник по кръгова орбита с радиус r около маса M.
Решение
От GMm/r² = mv²/r след съкращаване получаваме v = √(GM/r).
Приближението g ≈ константа е локално и работи близо до земната повърхност. При големи промени на височината зависимостта от r трябва да се запази, иначе полето и промяната на потенциалната енергия се оценяват погрешно. Нютоновият модел е много точен, когато релативистичните ефекти са малки.
Маса и тегло трябва да се разграничават. Масата е свойство на тялото, а теглото mg зависи от местното гравитационно поле. Едно и също тяло има еднаква маса на Земята и Луната, но различно тегло.
Разгледайте връзките: Всички курсове · Елементи