Gravitație universală
Legea atracției universale a lui Newton descrie prin aceeași relație căderea corpurilor, mișcarea planetelor și orbitele sateliților. Forța scade cu pătratul distanței, dar nu dispare brusc la o anumită limită.
Forța gravitațională universală
F = Gm₁m₂/r²
Constanta gravitațională este G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Pentru corpuri punctiforme sau sferic simetrice, r se măsoară între centrele de masă. Cele două corpuri se atrag cu forțe egale ca modul și opuse ca sens; accelerațiile lor pot fi diferite deoarece a=F/m.
Explorarea dependenței de inversul pătratului
Câmp gravitațional și greutate
În loc să recalculăm forța pentru fiecare masă de probă, definim câmpul gravitațional g⃗=F⃗/m. În exteriorul unei mase sferice M, modulul său este g=GM/r², orientat spre centru.
În apropierea suprafeței Pământului, g≈9,81 N·kg⁻¹=9,81 m·s⁻², iar greutatea este W=mg. Astronauții aflați pe orbită nu sunt în afara gravitației: senzația de imponderabilitate apare deoarece nava și tot ce se află în ea cad liber împreună.
Corpuri sferice și rolul razei
În exteriorul unui corp cu simetrie sferică, efectul gravitațional este același ca și cum întreaga masă ar fi concentrată în centru. De aceea, în problemele de altitudine, r este distanța până la centrul planetei, nu doar înălțimea deasupra suprafeței.
În interiorul unei sfere uniforme nu putem folosi pur și simplu GM/r² cu masa totală M; contează masa cuprinsă în raza r. Teorema învelișului sferic arată că într-un înveliș sferic uniform ideal câmpul gravitațional net este zero.
O orbită este o cădere liberă continuă
Pe o orbită circulară, gravitația furnizează accelerația centripetă. Din GMm/r²=mv²/r rezultă v=√(GM/r). Orbitele circulare mai înalte au viteze mai mici, deși perioada orbitală este mai mare.
Energie potențială gravitațională și viteza de evadare
Când variația distanței este mare, este util să alegem energia potențială nulă la infinit:
U = −GMm/r
Semnul minus indică o stare legată. Dacă neglijăm atmosfera și rotația, viteza inițială minimă pentru a ajunge la infinit cu viteză finală nulă este vesc=√(2GM/R). Pentru o orbită circulară, energia mecanică totală este E=−GMm/(2r), deci tot negativă.
Exemple rezolvate
1. Dublarea distanței
Două mase aflate la distanța r se atrag cu forța F. Care este forța la 2r?
Soluție
Deoarece F∝1/r², F′=F/2²=F/4.
2. Câmpul la altitudine
La distanța 2R față de centrul Pământului, cum se compară g cu valoarea de la R?
Soluție
g∝1/r², deci g(2R)=g(R)/4. Acest punct se află la o rază terestră deasupra suprafeței.
3. Viteza pe orbită circulară
Deduceți viteza v a unui satelit mic pe o orbită circulară de rază r în jurul unei mase M.
Soluție
GMm/r²=mv²/r. După simplificarea lui m și a unui factor r, obținem v=√(GM/r). Masa satelitului nu influențează viteza orbitală ideală.