Universele gravitatie
Dezelfde wet die een vallend voorwerp beschrijft, verklaart ook de beweging van manen, satellieten en planeten. Zwaartekracht neemt af met afstand, maar wordt niet plotseling nul: het is een langbereikinteractie.
De universele gravitatiekracht
F = Gm₁m₂/r²
G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
Voor twee puntmassa’s is F = Gm₁m₂/r², met G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². De afstand r wordt tussen de massamiddelpunten gemeten. Elke massa oefent op de andere een even grote maar tegengestelde kracht uit; hun versnellingen kunnen verschillen omdat a=F/m.
Gravitatieveld en gewicht
Een massa M maakt rond zich een gravitatieveld met grootte g = GM/r². Nabij het aardoppervlak is g ongeveer 9,81 N kg⁻¹ en het gewicht van massa m is W=mg. Een astronaut in een baan is niet buiten de zwaartekracht: astronaut en ruimtevaartuig zijn samen in vrije val, wat schijnbare gewichtloosheid geeft.
Bolvormige lichamen en de rol van de straal
Buiten een bolsymmetrische massaverdeling is het veld hetzelfde alsof alle massa in het middelpunt zat. Binnen een uniforme bol telt voor de netto radiale kracht alleen de ingesloten massa; het veld blijft dus niet als 1/r² oplopen naar het centrum.
Een baan is een voortdurende val
Voor een cirkelbaan levert de zwaartekracht precies de benodigde middelpuntzoekende versnelling: GMm/r² = mv²/r, zodat v = √(GM/r). Een hogere cirkelbaan heeft een kleinere omloopsnelheid maar een langere periode.
Gravitationele potentiële energie en ontsnapping
Kies U=0 op oneindig. Dan is U = −GMm/r. Het negatieve teken betekent dat een gebonden systeem minder energie heeft dan twee oneindig ver gescheiden massa’s. Uit energiebalans volgt vesc = √(2GM/R); voor een cirkelbaan is E = −GMm/(2r).
De inverse-kwadratenwet verklaart ook waarom de benadering van constante g vlak bij het aardoppervlak bruikbaar is maar op orbitale schaal niet. Als de hoogte klein is vergeleken met de aardstraal verandert r weinig; op grotere hoogte moet de volledige relatie GM/r² worden gebruikt.
Het veld is een eigenschap van de bronmassa’s, terwijl de kracht ook afhangt van de testmassa. Daardoor kan eerst g in de ruimte worden bepaald en daarna F=mg voor elk voorwerp. Massa en gewicht zijn dus niet hetzelfde: massa blijft gelijk, gewicht verandert met het lokale veld.
Gewichtloosheid in een baan betekent vooral dat er geen normale steunkracht is. Op lage aardbaan is de zwaartekracht nog sterk. Astronaut, voertuig en losse voorwerpen krijgen vrijwel dezelfde valversnelling en lijken daarom ten opzichte van elkaar te zweven.
Een cirkelbaan is een bijzonder evenwicht tussen tangentiële snelheid en naar binnen gerichte val. Te weinig snelheid laat de baan de planeet snijden; de juiste snelheid maakt dat het object blijft vallen terwijl het oppervlak onder de baan wegkromt.
Uitgewerkte voorbeelden
Afstand verdubbelen
Wat gebeurt er met F als r verdubbelt?
Oplossing
Omdat F∝1/r² geldt F′=F/4.
Veld op twee aardstralen
Vergelijk g bij r=2R met g aan het oppervlak.
Oplossing
g(2R)/g(R)=R²/(2R)²=1/4.
Cirkelbaansnelheid
Leid de snelheid van een cirkelbaan rond massa M af.
Oplossing
Stel GMm/r² gelijk aan mv²/r. Na vereenvoudigen volgt v=√(GM/r).