Splošna gravitacija

Newtonov zakon splošne gravitacije z enim pravilom opiše padanje teles, gibanje Lune in privlak med planeti. Sila z razdaljo hitro pada, vendar pri nobeni končni razdalji nenadoma ne izgine.

Newtonov zakon splošne gravitacije

F = Gm₁m₂/r²

Dve masi m₁ in m₂ se privlačita s silo velikosti F = Gm₁m₂/r². Gravitacijska konstanta je G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Pri točkastih masah in krogelno simetričnih telesih je r razdalja med njunima masnima središčema. Sili na telesi sta enako veliki in nasprotno usmerjeni, pospeška pa sta lahko različna, ker velja a = F/m.

Gravitacija sledi zakonu obratnega kvadrata: pri dvakrat večji razdalji je sila štirikrat manjša, pri štirikrat večji pa šestnajstkrat manjša.

Preizkusi zakon obratnega kvadrata

Spremeni razdaljo za faktor k in opazuj spremembo sile pri nespremenjenih masah.

faktor razdalje k

Gravitacijsko polje in teža

Namesto ponovnega računanja sile za vsako poskusno maso uvedemo gravitacijsko polje g⃗ = F⃗/m. Zunaj krogelno simetrične mase M velja g = GM/r². Ob Zemljinem površju je približno 9,81 N·kg⁻¹, številčno enako 9,81 m·s⁻². Teža je W = mg. Astronavti v orbiti niso zunaj dosega gravitacije; vesoljsko plovilo in vse v njem skupaj prosto padajo, zato občutijo navidezno breztežnost.

Krogelno simetrična telesa in polmer

Zunaj krogelno simetričnega telesa je njegov gravitacijski učinek enak, kot da bi bila vsa masa zbrana v središču. Pri nalogah z višino zato r pomeni razdaljo od središča planeta, ne zgolj višine nad površjem. Znotraj homogene krogle v GM/r² ne smemo vstaviti celotne mase; upoštevati moramo maso, zajeto znotraj izbranega polmera. To sledi iz izreka o krogelni lupini: idealna homogena krogelna lupina ustvarja v svoji notranjosti ničelno rezultantno gravitacijsko polje.

Orbita kot neprekinjen prosti pad

Orbita je neprekinjen prosti pad. Tangentno gibanje nosi telo naprej, gravitacija pa ves čas ukrivlja smer njegove hitrosti proti osrednjemu telesu.

Pri krožni orbiti gravitacija zagotavlja potrebno centripetalno pospešitev. Iz GMm/r² = mv²/r dobimo v = √(GM/r). Višja krožna orbita ima manjšo orbitalno hitrost, vendar daljšo obhodno dobo. Masa satelita se v idealnem izrazu pokrajša.

Gravitacijska potencialna energija in ubežna hitrost

U = −GMm/r

Pri velikih spremembah razdalje je priročno izbrati ničelno gravitacijsko potencialno energijo v neskončnosti: U = −GMm/r. Negativni predznak pomeni, da ima vezani par manj energije kot masi, ločeni na neskončno razdaljo. Če zanemarimo atmosfero in vrtenje, je najmanjša hitrost iz polmera R, potrebna za prihod v neskončnost s končno hitrostjo nič, v_esc = √(2GM/R). Za krožno orbito je celotna mehanska energija E = −GMm/(2r).

Zakon obratnega kvadrata tudi pojasni, zakaj se gravitacijsko polje občutno spremeni, ko je sprememba razdalje primerljiva s polmerom planeta. Pri majhnih višinah h≪R lahko g obravnavamo kot skoraj konstanten, pri satelitih in vesoljskih tirnicah pa je treba uporabiti polno odvisnost od r.

Primeri in naloge

1. Dvakrat večja razdalja

Dve masi se na razdalji r privlačita s silo F. Kolikšna je sila na razdalji 2r?

Rešitev

Ker F ∝ 1/r², je F′ = F/2² = F/4.

2. Polje na večji višini

Kolikšno je gravitacijsko polje na razdalji 2R od središča Zemlje v primerjavi s površjem r = R?

Rešitev

g ∝ 1/r², zato je g(2R) = g(R)/4. Točka je en Zemljin polmer nad površjem.

3. Hitrost krožne orbite

Izpeljite hitrost majhnega satelita na krožni orbiti polmera r okoli mase M.

Rešitev

Gravitacija daje centripetalno silo: GMm/r² = mv²/r. Ko pokrajšamo m in en faktor r, dobimo v = √(GM/r).