Universelle Gravitation

Newtons Gravitationsgesetz beschreibt die Anziehung zwischen Massen mit einer einzigen Regel, die für fallende Körper, Planeten und Satelliten gilt. Die Kraft wird mit wachsendem Abstand schwächer, verschwindet aber nicht plötzlich.

Die universelle Gravitationskraft

F = Gm₁m₂/r²

G = 6,67430×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Für punktförmige oder kugelsymmetrische Körper wird r zwischen den Massenzentren gemessen.

Jede Masse zieht die andere mit gleich großer, entgegengesetzt gerichteter Kraft an. Ihre Beschleunigungen können verschieden sein, weil a = F/m gilt.

Die Gravitation folgt einem inversen Quadratgesetz. Wird der Abstand zweier Punktmassen verdoppelt, sinkt die Kraft auf ein Viertel.

Gravitationsfeld und Gewichtskraft

Statt die Kraft für jede Testmasse neu zu berechnen, definiert man das Gravitationsfeld g⃗ = F⃗/m. Außerhalb einer kugelförmigen Masse M gilt g = GM/r².

Nahe der Erdoberfläche beträgt g ungefähr 9,81 N·kg⁻¹, numerisch gleich 9,81 m·s⁻². Die Gewichtskraft ist dann F_G = mg.

Astronauten im Orbit befinden sich nicht außerhalb der Gravitation. Sie erleben Schwerelosigkeit, weil Raumfahrzeug und Inhalt gemeinsam frei fallen. Das lokale Gravitationsfeld kann beträchtlich sein, obwohl eine Waage nahezu null anzeigt.

Kugelförmige Körper und die Rolle des Radius

Außerhalb eines kugelsymmetrischen Körpers wirkt seine Gravitation so, als wäre die gesamte Masse im Zentrum konzentriert. Bei Höhenberechnungen muss deshalb der Abstand vom Planetenmittelpunkt verwendet werden und nicht nur die Höhe über der Oberfläche.

Innerhalb einer homogenen Kugel gilt die einfache Formel GM/r² mit der gesamten Masse nicht mehr. Für den Nettofeldbeitrag nach innen ist nur die innerhalb des Radius r eingeschlossene Masse relevant.

Das folgt aus dem Schalentheorem: Eine kugelförmige Schale zieht eine äußere Masse so an, als läge die Schalenmasse im Zentrum; innerhalb einer ideal homogenen Schale ist das resultierende Gravitationsfeld überall null.

Umlaufbahnen sind Fallbewegungen

Bei einer Kreisbahn liefert die Gravitation die Zentripetalbeschleunigung. Aus GMm/r² = mv²/r folgt v = √(GM/r). Höhere Kreisbahnen besitzen eine kleinere Bahngeschwindigkeit, obwohl ihre Umlaufzeit größer ist.

Eine Umlaufbahn ist fortgesetzter freier Fall. Die tangentiale Bewegung trägt den Körper vorwärts, während die Gravitation seine Geschwindigkeit ständig zum Zentralkörper hin ablenkt.

Gravitationspotentielle Energie und Flucht

Bei großen Abstandsänderungen setzt man die potentielle Energie bei unendlicher Trennung gleich null: U = −GMm/r.

Das Minuszeichen zeigt, dass ein gebundenes Paar weniger Energie besitzt als die unendlich weit getrennten Massen. Ohne Atmosphäre und Rotation ist die kleinste Startgeschwindigkeit, die mit Endgeschwindigkeit null bis ins Unendliche reicht, v_esc = √(2GM/R).

Gravitationskraft und potentielle Energie beschreiben dieselbe Wechselwirkung aus zwei Blickwinkeln. Die Kraft beschreibt die lokale Impulsänderung; die potentielle Energie erleichtert den Vergleich von Zuständen. Für eine Kreisbahn ist die gesamte mechanische Energie negativ: E = −GMm/(2r). Der Satellit ist damit gravitativ gebunden.

Durchgerechnete Beispiele

1. Verdoppelter Abstand

Wirkt bei Abstand r die Kraft F, so gilt wegen F ∝ 1/r² bei 2r: F′ = F/4.

2. Gravitationsfeld in größerem Abstand

In der Entfernung 2R vom Erdmittelpunkt gilt g(2R) = g(R)/4. Dieser Ort liegt um einen Erdradius über der Oberfläche.

3. Geschwindigkeit einer Kreisbahn

Die Gravitation liefert die Zentripetalkraft: GMm/r² = mv²/r. Nach Kürzen von m und einem r erhält man v = √(GM/r). Die Satellitenmasse beeinflusst im idealen Modell die Bahngeschwindigkeit nicht.