Vispasaules gravitācija
Ņūtona vispasaules gravitācijas likums ar vienu sakarību apraksta krītošus ķermeņus, planētas un pavadoņus. Pievilkšanās spēks samazinās ar attāluma kvadrātu, taču pie nevienas galīgas robežas pēkšņi nepazūd.
Vispasaules gravitācijas spēks
F = Gm₁m₂/r²
Gravitācijas konstante ir G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Punktveida vai sfēriski simetriskiem ķermeņiem r mēra starp masas centriem. Abi ķermeņi viens otru pievelk ar vienāda lieluma un pretējas virziena spēkiem; paātrinājumi var atšķirties, jo a=F/m.
Apgrieztā kvadrāta atkarības izpēte
Gravitācijas lauks un svars
Lai nebūtu jāpārrēķina spēks katrai testa masai, definē gravitācijas lauku g⃗=F⃗/m. Ārpus sfēriskas masas M tā lielums ir g=GM/r², virziens – uz centru.
Pie Zemes virsmas g≈9,81 N·kg⁻¹=9,81 m·s⁻², tāpēc svars W=mg. Orbītā esošie astronauti nav ārpus gravitācijas: šķietamais bezsvars rodas tāpēc, ka kosmosa kuģis un viss tajā brīvi krīt kopā.
Sfēriski ķermeņi un rādiusa nozīme
Ārpus sfēriski simetriska ķermeņa tā gravitācijas efekts ir tāds, it kā visa masa būtu koncentrēta centrā. Tāpēc augstuma uzdevumos r ir attālums līdz planētas centram, nevis tikai augstums virs virsmas.
Vienmērīgas sfēras iekšienē nevar vienkārši lietot GM/r² ar visu masu M; nozīme ir masai, kas atrodas r rādiusa iekšienē. Tas saistīts ar sfēriskā čaulas teorēmu: ideālas vienmērīgas sfēriskas čaulas iekšienē kopējais gravitācijas lauks ir nulle.
Orbīta ir nepārtraukta brīvā krišana
Riņķveida orbītā gravitācija nodrošina centrtieces paātrinājumu. No GMm/r²=mv²/r iegūst v=√(GM/r). Augstākās riņķveida orbītās ātrums ir mazāks, bet apriņķošanas periods – garāks.
Gravitācijas potenciālā enerģija un bēgšanas ātrums
Ja attālums mainās ievērojami, potenciālās enerģijas nulles līmeni ērti izvēlēties bezgalībā:
U = −GMm/r
Negatīvā zīme norāda uz saistītu stāvokli. Ignorējot atmosfēru un rotāciju, mazākais sākuma ātrums, kas ļauj sasniegt bezgalību ar nulles gala ātrumu, ir vesc=√(2GM/R). Riņķveida orbītai kopējā mehāniskā enerģija ir E=−GMm/(2r).
Atrisināti piemēri
1. Attāluma divkāršošana
Divas masas r attālumā pievelkas ar spēku F. Kāds ir spēks 2r attālumā?
Risinājums
Tā kā F∝1/r², F′=F/2²=F/4.
2. Lauks lielākā augstumā
Kā gravitācijas lauka stiprums 2R attālumā no Zemes centra salīdzināms ar vērtību pie R?
Risinājums
g∝1/r², tāpēc g(2R)=g(R)/4. Šis punkts atrodas viena Zemes rādiusa augstumā virs virsmas.
3. Riņķveida orbītas ātrums
Izvediet maza pavadoņa ātrumu v r rādiusa riņķveida orbītā ap masu M.
Risinājums
GMm/r²=mv²/r. Saīsinot m un vienu r, iegūst v=√(GM/r). Ideālā gadījumā pavadoņa masa orbītas ātrumu neietekmē.