Универзална гравитација
Њутнов закон универзалне гравитације описује привлачење маса једним правилом које важи за тела која падају, планете и сателите. Сила слаби са растојањем, али се не „искључује“ нагло.
Универзална гравитациона сила
За две тачкасте масе, или сферно симетрична тела посматрана споља, величина силе је F = Gm₁m₂/r². Растојање r мери се између центара масе, а G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Свака маса делује на другу истом силом супротног смера, али убрзања могу бити различита јер је a = F/m.
Ово је закон обрнутог квадрата: удвостручавање растојања смањује силу на четвртину. Битно је растојање између центара, не само између површина.
Гравитационо поље и тежина
Гравитационо поље изван сферне масе је g = GM/r². Близу Земљине површине g ≈ 9,81 N kg⁻¹, бројно једнако 9,81 m s⁻². Тежина масе m је W = mg.
Астронаути у орбити нису изван гравитације. Осећају бестежинско стање зато што летелица и све у њој заједно слободно падају. Локално поље је и даље значајно.
Сферна тела и улога полупречника
Изван сферно симетричног тела гравитациони ефекат је исти као да је цела маса у центру. Зато се висина у прорачунима мора додати полупречнику планете. Унутар хомогене сфере не сме се користити укупна маса у GM/r²; релевантна је маса обухваћена полупречником r. То следи из теореме о сферној љусци.
Орбите су путање слободног пада
Орбита је непрекидни слободни пад. Тангенцијално кретање носи тело напред, а гравитација стално закривљује брзину ка централном телу. За кружну орбиту GMm/r² = mv²/r даје v = √(GM/r). Више кружне орбите имају мању брзину, али дужи период.
Гравитациона потенцијална енергија и бекство
За велике промене растојања нула потенцијалне енергије узима се на бесконачности: U = −GMm/r. Негативан знак означава везано стање. Брзина бекства са полупречника R је vesc = √(2GM/R) ако занемаримо атмосферу и ротацију.
Сила описује локалну промену импулса, а потенцијална енергија пореди стања. За кружну орбиту E = −GMm/(2r) < 0, па је сателит гравитационо везан.
Решени примери
1. Удвостручено растојање
Две масе се привлаче силом F на растојању r. Колика је сила на 2r?
Решење
Пошто F ∝ 1/r², F′ = F/2² = F/4.
2. Поље на 2R
Колико је g на растојању 2R од центра Земље у односу на површину R?
Решење
g ∝ 1/r², па је g(2R) = g(R)/4. То је висина једног Земљиног полупречника изнад површине.
3. Брзина кружне орбите
Изведите брзину малог сателита на кружној орбити полупречника r око масе M.
Решење
Из GMm/r² = mv²/r после скраћивања добијамо v = √(GM/r).
Апроксимација g ≈ константно важи само локално близу Земљине површине. За велике промене висине мора се задржати зависност од r, иначе се погрешно процењују и поље и промена потенцијалне енергије. Њутнов модел је изузетно тачан када су релативистички ефекти мали.
Масу и тежину треба строго раздвојити. Маса је својство тела, док је тежина mg одређена локалним гравитационим пољем. Исто тело зато има исту масу на Земљи и Месецу, али различиту тежину.
Истражите везе: Сви курсеви · Елементи