Všeobecná gravitácia

Zákon obráteného štvorca

Pre dva hmotné body alebo sféricky symetrické telesá platí F = Gm₁m₂/r², kde G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Vzdialenosť r meriame medzi stredmi hmotnosti.

Obe telesá na seba pôsobia rovnako veľkými silami opačného smeru. Zdvojnásobenie r zmenší silu na štvrtinu a štvornásobné r na šestnástinu.

Gravitačné pole a tiaž

Pole hmotnosti M opisuje g = GM/r². Pri povrchu Zeme je g približne 9,81 N/kg = 9,81 m/s² a veľkosť tiaže je W = mg.

Astronaut na obežnej dráhe nie je mimo gravitácie. Družica aj astronaut padajú spolu, preto váha môže ukazovať takmer nulu napriek značnému miestnemu gravitačnému poľu.

Sférické telesá a veta o obale

Mimo sféricky symetrického telesa je jeho gravitačný účinok rovnaký, akoby bola celá hmotnosť sústredená v strede. Vo výške h preto používame r = R + h.

Vo vnútri ideálneho rovnomerného guľového obalu je výsledné pole nulové. Vo vnútri plnej gule nemožno jednoducho dosadiť celkovú hmotnosť do GM/r²; rozhoduje hmotnosť uzavretá v danom polomere.

Obežná dráha ako nepretržitý pád

Na obežnej dráhe gravitácia neustále stáča vektor rýchlosti. Pre kruhovú dráhu z GMm/r² = mv²/r dostaneme v = √(GM/r). Vyššia kruhová dráha má menšiu rýchlosť, ale dlhšiu periódu.

Hmotnosť malej družice sa v ideálnom vzťahu vykráti. Pri presnom probléme dvoch porovnateľných hmôt sa však obe telesá pohybujú okolo spoločného ťažiska.

Potenciálna energia a únik

Pri veľkých zmenách vzdialenosti používame U = −GMm/r s nulou v nekonečne. Záporná hodnota vyjadruje, že gravitačne viazaný stav má nižšiu energiu než oddelené telesá.

Zo zachovania energie vyplýva v_esc = √(2GM/R), ak zanedbáme atmosféru a rotáciu. Celková energia kruhovej obežnej dráhy je E = −GMm/(2r).

Sila a energia sú dva opisy

Sila opisuje miestnu zmenu hybnosti, potenciálna energia uľahčuje porovnávanie stavov v rôznych vzdialenostiach. Pri rovnakých predpokladoch musia oba opisy dávať zhodné výsledky.

Pre malé zmeny výšky pri povrchu Zeme možno použiť ΔU ≈ mgΔh. Pri vzdialenostiach porovnateľných s polomerom planéty treba použiť úplný vzťah −GMm/r.

Kontrola modelu

Newtonov zákon je veľmi presný pre bežnú mechaniku planét a družíc. Pre veľmi silné polia alebo relativistickú presnosť je potrebná všeobecná relativita.

Rozmerová kontrola Gm₁m₂/r² musí dať newtony. Trend je rovnako dôležitý: pri väčšej vzdialenosti nemôže sila podľa 1/r² rásť.

Vyriešené príklady

1. Zdvojnásobenie vzdialenosti

2. Pole vo vzdialenosti 2R

3. Rýchlosť kruhovej dráhy