Všeobecná gravitace
Newtonův gravitační zákon popisuje pády těles, pohyb planet i družic jedním pravidlem. Přitažlivá síla se vzdáleností nezmizí skokem, ale klesá s druhou mocninou vzdálenosti mezi středy hmotnosti.
Zákon převráceného čtverce
Pro dva hmotné body nebo sféricky symetrická tělesa platí F = Gm₁m₂/r², kde G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Vzdálenost r měříme mezi středy hmotnosti, nikoli mezi povrchy.
Obě tělesa na sebe působí stejně velkými silami opačného směru. Zdvojnásobení r zmenší sílu na čtvrtinu a čtyřnásobné r na šestnáctinu.
Gravitační pole a tíha
Pole hmotnosti M popíšeme výrazem g = GM/r². U zemského povrchu je g přibližně 9,81 N/kg = 9,81 m/s² a velikost tíhy je W = mg.
Astronaut na oběžné dráze není mimo dosah gravitace. Družice i astronaut padají společně, takže váha může ukazovat téměř nulu, i když místní gravitační pole zůstává značné.
Gravitační síla
Sférická tělesa a slupková věta
Vně sféricky symetrického tělesa je pole stejné, jako kdyby byla jeho hmotnost soustředěna ve středu. Při výpočtu ve výšce h proto používáme r = R + h.
Uvnitř ideální rovnoměrné kulové slupky je výsledné pole nulové. Uvnitř plné koule nelze do GM/r² dosadit celkovou hmotnost; rozhoduje hmotnost uzavřená uvnitř daného poloměru.
Oběžná dráha jako nepřetržitý pád
Na oběžné dráze gravitace neustále stáčí vektor rychlosti. Pro kruhovou dráhu z GMm/r² = mv²/r dostaneme v = √(GM/r). Vyšší kruhová dráha má menší rychlost, ale delší periodu.
Hmotnost malé družice se v ideálním vztahu vykrátí. V přesném problému dvou srovnatelných hmotností se však obě tělesa pohybují kolem společného těžiště.
Potenciální energie a únik
Pro velké změny vzdálenosti používáme U = −GMm/r s nulou v nekonečnu. Záporná energie vyjadřuje, že gravitačně vázaný stav má nižší energii než dvě hmotnosti nekonečně daleko od sebe.
Ze zákona zachování energie plyne v_esc = √(2GM/R), zanedbáme-li atmosféru a rotaci. Celková mechanická energie na kruhové dráze je E = −GMm/(2r).
Síla a energie jsou dva popisy
Síla popisuje místní změnu hybnosti, potenciální energie usnadňuje porovnávat stavy v různých vzdálenostech. Oba popisy musí při stejných předpokladech vést ke shodnému výsledku.
Pro malé změny výšky u povrchu Země lze použít ΔU ≈ mgΔh. Pro vzdálenosti srovnatelné s poloměrem Země je však nutný vztah −GMm/r.
Kontrola modelu
Newtonův zákon je výborný pro běžnou mechaniku planet a družic. Pro velmi silná pole nebo relativistickou přesnost je nutná obecná relativita.
Rozměrová kontrola Gm₁m₂/r² musí dát newtony. Stejně důležitý je trend: při zvětšení vzdálenosti nemůže síla podle zákona 1/r² růst.
Řešené příklady
1. Zdvojnásobení vzdálenosti
Řešení
Protože F ∝ 1/r², po změně r na 2r je síla F/4.
2. Pole ve vzdálenosti 2R
Řešení
g(2R) = GM/(2R)² = g(R)/4.
3. Rychlost kruhové dráhy
Řešení
Z GMm/r² = mv²/r dostaneme po zkrácení v = √(GM/r).