सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण

न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम दो बिंदु द्रव्यमान—या उपयुक्त गोलाकार द्रव्यमान—के बीच आकर्षण को व्युत्क्रम-वर्ग नियम से वर्णित करता है। यही ढाँचा गिरते हुए शरीर, कक्षाएँ और उपग्रह को एक ही भौतिक विचार से जोड़ता है।

व्युत्क्रम-वर्ग नियम

दो बिंदु द्रव्यमान के लिए F = जी.एम₁m₂/r²। r केंद्र से केंद्र की दूरी है, सतह पृथक्करण नहीं। एकसमान गोलाकार शरीर के बाहर शैल प्रमेय के कारण उसे केंद्र पर संकेंद्रित द्रव्यमान की तरह इलाज किया जा सकता है।

दूरी दोगुनी करने पर बल एक-चौथाई हो जाती है। जनता में से एक दोगुनी हो तो बल दोगुनी। यह स्केलिंग संख्यात्मक गणना से पहले गुणात्मक जांच देती है।

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र

किसी स्रोत द्रव्यमान M से क्षेत्र परिमाण g = GM/r² है और दिशा M की ओर। परीक्षण जन m पर बल F⃗ = m g⃗। इसलिए स्थानीय g वस्तु के अपने द्रव्यमान से स्वतंत्र है, यदि बड़े पैमाने पर स्रोत वितरण का परीक्षण करें को प्रशंसनीय न बदलता हो।

पृथ्वी की सतह के पास g लगभग 9.81 m s⁻² है, पर ऊंचाई और अक्षांश के साथ बदलता है। लगातार-जी मॉडल छोटे ऊंचाई में परिवर्तन के लिए सन्निकटन है।

संभावित ऊर्जा

दो जनता की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा U = −जी.एम.एम/r, शून्य को अनन्तता पर चुना जाता है। नकारात्मक संकेत बताता है कि बाउंड कॉन्फ़िगरेशन अनंत संदर्भ से कम ऊर्जा पर है।

सतह के पास छोटे ऊंचाई h के लिए ΔU≈एमजीएच, लेकिन बड़े रेडियल परिवर्तन पर सटीक −जी.एम.एम/r संबंध चाहिए। क्षमता Φ=U/m=−GM/r स्रोत फ़ील्ड की संपत्ति है।

कक्षा और मुक्त पतन

वृत्ताकार कक्षा में गुरुत्वाकर्षण ही केन्द्राभिमुख परिणामी दे सकती है: जी.एम.एम/r² = mv²/r, इसलिए v=√(GM/r)। सैटेलाइट लगातार मुक्त पतन में होता है; उसका क्षैतिज वेग ऐसा है कि गिरती प्रक्षेप पथ ग्रह को 'याद आती है' करती रहती है।

भारहीनता का अर्थ गुरुत्वाकर्षण का अभाव नहीं। अंतरिक्ष यात्रियों की परिक्रमा पर गुरुत्वाकर्षण पर्याप्त होती है, पर अंतरिक्ष यान और अंतरिक्ष यात्री साथ मुक्त पतन में होने से समर्थन बल लगभग शून्य होती है।

न्यूटन की सीमा

न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण सौर-मंडल और इंजीनियरिंग तराजू पर अत्यंत सफल है, लेकिन मजबूत क्षेत्र, बहुत उच्च परिशुद्धता या सापेक्ष प्रभाव में सामान्य सापेक्षता आवश्यक है।

फिर भी व्युत्क्रम-वर्ग मॉडल उपग्रहों, भागने का अनुमान और ग्रहों की गतिशीलता के बहुत से प्रश्नों के लिए उत्कृष्ट सन्निकटन है। मॉडल चुनते समय आवश्यक परिशुद्धता और भौतिक व्यवस्था देखें।

भागने की गति और बंधनकारी ऊर्जा

किसी गोलाकार शरीर की सतह से आदर्श पलायन के लिए न्यूनतम गति ऊर्जा संरक्षण से v_esc = √(2GM/R) मिलती है। इसमें आगे जोर न देने, माहौल न होने और शरीर का घूमना उपेक्षित होने की धारणा है। भाग जाओ का अर्थ गुरुत्वाकर्षण शून्य होना नहीं, बल्कि कुल यांत्रिक ऊर्जा का गैर-नकारात्मक होना है।

वृत्ताकार कक्षीय गति √(GM/r) की तुलना में उसी त्रिज्या पर भागने की गति √2 गुना होती है। यह संबंध गतिज ऊर्जा और गुरुत्वाकर्षण क्षमता की अलग संतुलन से आता है।

अभ्यास

बल स्केलिंग

r दोगुना।

हल: F नया = F पुराना/4।

पृथ्वी की कक्षा

r≈6.77×10⁶ m, GM≈3.986×10¹⁴।

हल: v≈√(GM/r)≈7.67 किमी s⁻¹।

संभावित

m को अनन्तता से r तक लाएँ।

हल: U नकारात्मक होता है: U=−जी.एम.एम/r।