Universell gravitation
Samma lag som beskriver ett fallande föremål förklarar också månars, satelliters och planeters rörelse. Gravitationen avtar med avståndet men stängs aldrig plötsligt av.
Den universella gravitationskraften
F = Gm₁m₂/r²
G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
För två punktmassor är F = Gm₁m₂/r², där G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². r mäts mellan masscentrumen. Varje massa påverkar den andra med lika stor men motsatt riktad kraft; accelerationerna kan ändå skilja sig eftersom a=F/m.
Gravitationsfält och tyngd
En massa M skapar ett gravitationsfält med storleken g = GM/r². Nära jordytan är g ungefär 9,81 N kg⁻¹ och tyngdkraften på m är W=mg. En astronaut i omloppsbana är inte utanför gravitationen; astronaut och farkost befinner sig i gemensamt fritt fall.
Sfäriska kroppar och radien
Utanför en sfäriskt symmetrisk massfördelning är fältet detsamma som om all massa satt i centrum. Inuti en homogen sfär bidrar endast den inneslutna massan till den radiella nettokraften, så fältet fortsätter inte att öka enligt 1/r² mot centrum.
En omloppsbana är ett fortsatt fall
I en cirkulär bana ger gravitationen exakt den centripetalacceleration som krävs: GMm/r² = mv²/r, vilket ger v = √(GM/r). En högre cirkulär bana har lägre omloppshastighet men längre period.
Gravitationell potentiell energi och flykt
Om U=0 väljs vid oändligt avstånd är U = −GMm/r. Minustecknet visar att systemet är bundet. Energibalans ger vesc = √(2GM/R), och för en cirkelbana är E = −GMm/(2r).
1/r²-lagen förklarar också varför konstant g är en bra lokal approximation nära jordytan men inte på orbital skala. När höjden är liten jämfört med jordradien ändras r lite; på större höjd måste hela sambandet GM/r² användas.
Fältet är en egenskap hos källmassorna, medan kraften dessutom beror på testmassan. Därför kan g bestämmas först och F=mg sedan användas för vilket föremål som helst. Massa och tyngd är olika: massan är densamma medan tyngden följer det lokala fältet.
Tyngdlöshet i omloppsbana betyder främst att en stödjande normalkraft saknas, inte att gravitationen är borta. I låg jordbana är fältet fortfarande starkt. Farkost, astronaut och lösa föremål får nästan samma fallacceleration och svävar därför relativt varandra.
En cirkelbana kan ses som kombinationen av tangentiell hastighet och ett ständigt fall. För låg hastighet gör att banan skär planeten; rätt hastighet gör att fallet kröker sig runt planeten.
Den negativa potentiella energin följer av att nollnivån valts vid oändligt avstånd. Det är energiskillnaderna som är fysikaliskt användbara: ett bundet system måste tillföras energi för att massorna ska kunna separeras till oändligt avstånd. Det är samma energiresonemang som leder till flykthastigheten.
Lösta exempel
Fördubblat avstånd
Vad händer med F när r fördubblas?
Lösning
Eftersom F∝1/r² blir F′=F/4.
Fält vid två jordradier
Jämför g vid r=2R med värdet vid ytan.
Lösning
Kvoten är 1/4.
Hastighet i cirkelbana
Härled v för en cirkulär bana.
Lösning
Ur GMm/r²=mv²/r fås v=√(GM/r).