Mini-kurzus
Egyetemes tömegvonzás
Két tömegpont között vonzó gravitációs erő hat, amely F=Gm₁m₂/r² szerint nő a tömegekkel és a távolság négyzetével csökken. A törvény ugyanazzal a fizikával írja le a földi esést, a Hold pályáját és a bolygók Nap körüli mozgását, ha a klasszikus közelítés elegendő.
Miért nevezik egyetemesnek?
A gravitáció nem külön „földi” és „égi” jelenség. Ugyanaz a kölcsönhatás gyorsítja lefelé az elejtett tárgyat és tartja közel körpályán a műholdat. A különbség a kezdeti sebességben és a geometriai helyzetben van. Egy megfelelően gyors oldalirányú mozgásnál a test folyamatosan esik a Föld felé, miközben a felszín görbülete ugyanilyen ütemben „eltávolodik” alóla.
A távolság négyzetes törvénye
Ha két pontszerű tömeg távolságát kétszerezzük, az erő negyedére csökken; háromszoros távolságnál kilencedére. Gömbszimmetrikus test külső terében a tömeg úgy kezelhető, mintha a középpontban koncentrálódna. Ezért a Föld felszíne felett r a Föld középpontjától mért távolság, nem pusztán a felszín feletti magasság.
Gravitációs tér
Egy M tömeg körül a gravitációs térerősség g=GM/r², iránya a tömeg felé mutat. Egy m próbatestre F=mg hat. A g tehát helytől függő térjellemző; a felszíni 9,81 m/s² csak közelítő helyi érték. Magasság növekedésével g csökken, de alacsony Föld körüli pályán még mindig jelentős — az űrhajósok súlytalanságérzete szabadesésből ered, nem a gravitáció hiányából.
Potenciális energia
Két pontszerű tömeg gravitációs potenciális energiája U=−GMm/r, ha a zérusszintet végtelen távolban választjuk. A negatív előjel azt fejezi ki, hogy kötött rendszerből energiát kell befektetni a test végtelen távolra viteléhez. A felszín közelében, kis magasságváltozásnál ebből származik az egyszerűbb ΔU≈mgΔh közelítés.
Pályasebesség és keringés
Körpályán a gravitáció biztosítja a centripetális gyorsulást: GMm/r²=mv²/r, innen v=√(GM/r). Nagyobb sugarú körpályához kisebb pályasebesség tartozik, de a keringési idő hosszabb. A valódi bolygópályák ellipszisek is lehetnek, ahol a sebesség a pálya mentén változik, miközben a teljes mechanikai energia állandó maradhat.
A tömeg nem befolyásolja a szabadesési gyorsulást?
F=GMm/r² és a=F/m összevetésével a próbatest m tömege kiesik: a=GM/r². Ezért légellenállás nélkül ugyanazon helyen különböző tömegű kis testek azonos gyorsulással esnek. A hétköznapi eltéréseket főként a levegőellenállás és a felület–tömeg arány különbsége okozza, nem a gravitáció alapvető törvényének eltérése.
A klasszikus modell határa
Newton gravitációja kiváló közelítés sok csillagászati és mérnöki helyzetben, de nagyon erős gravitációs térben vagy extrém pontosságnál az általános relativitáselmélet szükséges. Ez nem teszi „hibássá” a newtoni modellt: megadja azt a tartományt, ahol egyszerűbb számítással rendkívül pontos előrejelzést kapunk.
Próbáld ki
Egy műhold körpályájának sugarát négyszeresére növeljük ugyanazon bolygó körül. Hogyan változik az ideális körpályasebessége?
Megoldás
v=√(GM/r), ezért négyszeres r esetén v az eredeti 1/√4=1/2 részére csökken. A műhold tehát távolabb lassabban kering körpályán.