Egyetemes tömegvonzás
Newton egyetemes tömegvonzási törvénye ugyanazzal a szabállyal írja le a leeső testeket, a bolygókat és a műholdakat. A vonzóerő a távolság négyzetével gyengül, de nem kapcsol ki egy adott határnál.
Az egyetemes gravitációs erő
F = Gm₁m₂/r²
A gravitációs állandó G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Pontszerű vagy gömbszimmetrikus testeknél r a tömegközéppontok távolsága. A két test ugyanakkora, ellentétes irányú erőt fejt ki egymásra; gyorsulásuk mégis különbözhet, mert a=F/m.
Az inverz négyzetes függés vizsgálata
Gravitációs tér és súly
Egy próbatest erőhatásának újraszámítása helyett definiálhatjuk a gravitációs teret: g⃗=F⃗/m. Egy gömbszimmetrikus M tömegen kívül g=GM/r², iránya a középpont felé mutat.
A Föld felszíne közelében g≈9,81 N·kg⁻¹=9,81 m·s⁻², így a súly W=mg. A keringő űrhajósok nem a gravitáció hiánya miatt súlytalanok: az űrhajó és minden benne lévő tárgy együtt szabadesik.
Gömbszimmetria és a sugár szerepe
Gömbszimmetrikus test külső gravitációs tere olyan, mintha teljes tömege a középpontban lenne. Ezért a magassági feladatokban r a bolygó középpontjától mért távolság, nem pusztán a felszín feletti magasság.
Homogén gömb belsejében nem használható a teljes M tömeggel a GM/r² kifejezés; csak az r sugarú gömbön belüli tömeg járul hozzá ugyanilyen módon. A gömbhéjtétel szerint ideális, homogén gömbhéj belsejében a nettó gravitációs tér nulla.
A pálya folyamatos szabadesés
Körpályán a gravitáció adja a centripetális gyorsulást. A GMm/r²=mv²/r egyenletből v=√(GM/r). Nagyobb sugarú körpályán a sebesség kisebb, miközben a keringési idő hosszabb.
Gravitációs potenciális energia és szökési sebesség
Nagy távolságváltozásnál célszerű a potenciális energia zérusszintjét végtelenben választani:
U = −GMm/r
A negatív előjel kötött állapotot jelez. A légkört és a forgást elhanyagolva a legkisebb kezdősebesség, amellyel a test végtelen távolra juthat nulla végsebességgel, vesc=√(2GM/R). Körpályán a teljes mechanikai energia E=−GMm/(2r), tehát szintén negatív.
Kidolgozott példák
1. A távolság megkétszerezése
Két tömeg r távolságban F erővel vonzza egymást. Mekkora az erő 2r távolságban?
Megoldás
Mivel F∝1/r², F′=F/2²=F/4.
2. Térerősség nagyobb magasságban
A Föld középpontjától 2R távolságban hogyan viszonyul g a felszíni R távolsághoz?
Megoldás
g∝1/r², ezért g(2R)=g(R)/4. Ez a pont egy földsugárral van a felszín felett.
3. Körpálya sebessége
Vezesse le egy kis műhold v sebességét r sugarú körpályán egy M tömeg körül.
Megoldás
GMm/r²=mv²/r. m és egy r kiesik, így v=√(GM/r). Az ideális pályasebesség nem függ a műhold saját tömegétől.