Grawitacja powszechna

Prawo odwrotności kwadratu

Dla dwóch mas punktowych lub sferycznie symetrycznych ciał wartość siły wynosi F = Gm₁m₂/r², gdzie G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Odległość r mierzymy między środkami mas, nie między powierzchniami.

Każde ciało działa na drugie siłą o tej samej wartości i przeciwnym zwrocie. Przy podwojeniu r siła maleje czterokrotnie, a przy czterokrotnym zwiększeniu r — szesnastokrotnie.

Pole grawitacyjne i ciężar

Pole pozwala opisać wpływ masy M niezależnie od wybranej masy próbnej: g = GM/r². W pobliżu powierzchni Ziemi g ≈ 9,81 N/kg = 9,81 m/s², a ciężar ma wartość W = mg.

Nieważkość na orbicie nie oznacza braku grawitacji. Statek i astronauta spadają razem, więc lokalna siła nacisku na wagę może być niemal zerowa mimo znacznego pola grawitacyjnego.

Ciała kuliste i twierdzenie o powłokach

Na zewnątrz sferycznie symetrycznego ciała jego pole jest takie, jak gdyby cała masa znajdowała się w środku. Dlatego przy obliczeniach na wysokości trzeba używać odległości od środka planety: r = R + h.

Wewnątrz idealnej jednorodnej powłoki kulistej wypadkowe pole jest równe zeru. Wewnątrz pełnej kuli nie wolno po prostu wstawić całkowitej masy M do GM/r²; znaczenie ma masa zawarta wewnątrz danego promienia.

Orbita jest ciągłym spadaniem

W ruchu po orbicie grawitacja stale zakrzywia wektor prędkości. Dla orbity kołowej przyrównanie GMm/r² = mv²/r daje v = √(GM/r). Wyższa orbita kołowa ma mniejszą prędkość, ale dłuższy okres.

Masa satelity skraca się po obu stronach równania, więc w idealnym modelu nie zmienia wymaganej prędkości orbitalnej. To nie oznacza, że masa satelity nie ma żadnego wpływu w dokładnym problemie dwóch ciał.

Energia potencjalna i ucieczka

Przy zmianach odległości porównywalnych z promieniem planety używamy U = −GMm/r, przyjmując U = 0 w nieskończoności. Znak minus mówi, że stan związany ma mniejszą energię niż dwie masy rozdzielone do nieskończoności.

Z zasady zachowania energii wynika v_esc = √(2GM/R) dla minimalnej prędkości ucieczki z promienia R, gdy pomijamy atmosferę i obrót. Dla orbity kołowej całkowita energia wynosi E = −GMm/(2r).

Siła i energia opisują to samo oddziaływanie

Siła mówi lokalnie, jak zmienia się pęd, natomiast energia potencjalna ułatwia porównywanie stanów i prędkości w różnych odległościach. Wybór opisu zależy od pytania, a wyniki muszą być ze sobą zgodne.

W pobliżu powierzchni Ziemi przy małych zmianach wysokości można używać przybliżenia ΔU ≈ mgΔh. Nie wolno go jednak bez kontroli rozciągać na wysokości porównywalne z promieniem Ziemi.

Jak kontrolować model

Prawo Newtona działa znakomicie dla typowych orbit i mechaniki planetarnej. Dla bardzo silnych pól, bardzo wysokiej precyzji lub zjawisk relatywistycznych potrzebna jest ogólna teoria względności.

Kontrola wymiarów jest prosta: Gm₁m₂/r² musi dać niutony. Warto też sprawdzić kierunek trendu — zwiększenie odległości nie może zwiększać siły w prawie odwrotności kwadratu.

Przykłady rozwiązane

1. Podwojenie odległości

2. Pole na odległości 2R

3. Prędkość orbity kołowej