Yleinen gravitaatio
Newtonin yleinen gravitaatiolaki kuvaa massojen välistä vetovoimaa samalla säännöllä putoaville kappaleille, planeetoille ja satelliiteille. Voima heikkenee etäisyyden kasvaessa, mutta ei katkea äkillisesti.
Yleinen gravitaatiovoima
Kahden pistemassan tai ulkopuolelta tarkasteltavan pallosymmetrisen kappaleen voiman suuruus on F = Gm₁m₂/r². Etäisyys r mitataan massakeskipisteiden välillä ja G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Kumpikin massa vetää toista yhtä suurella mutta vastakkaissuuntaisella voimalla; kiihtyvyydet voivat silti olla erilaiset, koska a = F/m.
Laki on käänteisen neliön laki: kun etäisyys kaksinkertaistuu, voima pienenee neljännekseen. Olennaista on keskusten välinen etäisyys, ei pelkkä pintojen väli.
Gravitaatiokenttä ja paino
Gravitaatiokenttä ilmaistaan muodossa g = GM/r². Maan pinnan lähellä g ≈ 9,81 N kg⁻¹, numeerisesti sama kuin 9,81 m s⁻². Massan m paino on W = mg.
Kiertoradalla oleva astronautti ei ole gravitaation ulkopuolella. Painottomuus johtuu siitä, että alus ja sen sisältö ovat yhdessä vapaassa pudotuksessa. Paikallinen gravitaatiokenttä voi olla suuri, vaikka vaaka näyttäisi lähes nollaa.
Pallosymmetriset kappaleet ja säde
Pallosymmetrisen kappaleen ulkopuolella gravitaatio on sama kuin jos koko massa olisi keskittynyt keskukseen. Siksi korkeutta käsittelevissä laskuissa käytetään etäisyyttä planeetan keskipisteestä. Tasatiheyksisen pallon sisällä koko massaa ei voi sijoittaa kaavaan GM/r²; vain säteen r sisäpuolinen massa vaikuttaa vastaavalla tavalla. Tämä on kuoriteoreeman seuraus.
Kiertorata on jatkuvaa putoamista
Kiertoradalla kappale putoaa jatkuvasti kohti keskuskappaletta samalla kun tangentiaalinen liike vie sitä eteenpäin. Ympyräradalla gravitaatio tuottaa keskeiskiihtyvyyden: GMm/r² = mv²/r, mistä v = √(GM/r). Korkeammalla ympyräradalla nopeus on pienempi mutta kiertoaika pidempi.
Gravitaation potentiaalienergia ja pako
Kun etäisyys muuttuu paljon, potentiaalienergian nollataso asetetaan äärettömään: U = −GMm/r. Negatiivinen arvo tarkoittaa sidottua järjestelmää. Pakonopeus säteeltä R on vesc = √(2GM/R), kun ilmakehä ja pyöriminen jätetään huomiotta.
Voima kertoo paikallisen liikemäärän muutoksesta, potentiaalienergia taas helpottaa tilojen vertailua. Ympyräradalla kokonaismekaaninen energia E = −GMm/(2r) on negatiivinen, joten satelliitti on sidottu.
Lasketut esimerkit
1. Etäisyyden kaksinkertaistus
Kaksi massaa vetää toisiaan voimalla F etäisyydellä r. Mikä voima on etäisyydellä 2r?
Ratkaisu
Koska F ∝ 1/r², F′ = F/2² = F/4.
2. Kenttä kahden säteen etäisyydellä
Kuinka suuri g on etäisyydellä 2R Maan keskipisteestä verrattuna pintaan R?
Ratkaisu
g ∝ 1/r², joten g(2R) = g(R)/4. Sijainti on yhden Maan säteen korkeudella pinnasta.
3. Ympyräradan nopeus
Johda pienen satelliitin nopeus ympyräradalla, jonka säde on r ja keskuskappaleen massa M.
Ratkaisu
GMm/r² = mv²/r. Kun m ja yksi r supistetaan, saadaan v = √(GM/r).
Lähellä Maan pintaa käytetty g ≈ vakio on paikallinen approksimaatio. Suurissa korkeuseroissa r-riippuvuus on säilytettävä, muuten kenttä ja potentiaalienergian muutos arvioidaan väärin. Newtonin malli toimii erittäin hyvin, kun relativistiset korjaukset ovat pieniä.
Massa ja paino on pidettävä erillään: massa kuuluu kappaleelle, mutta paino mg riippuu paikallisesta gravitaatiokentästä. Sama kappale säilyttää massansa Kuussa ja Maassa, vaikka sen paino on erilainen.
Tutki yhteyksiä: Kaikki kurssit · Alkuaineet