Gravitación universal
La ley de gravitación universal de Newton describe la atracción entre masas con una misma regla aplicable a objetos que caen, planetas y satélites. La fuerza disminuye con la distancia, pero no se apaga bruscamente.
La fuerza gravitatoria universal
F = Gm₁m₂/r²
G = 6,67430×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Para cuerpos puntuales o esféricamente simétricos, r es la distancia entre sus centros de masa.
Cada masa atrae a la otra con una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta. Sus aceleraciones pueden ser distintas porque a = F/m.
Campo gravitatorio y peso
En lugar de recalcular la fuerza para cada masa de prueba, se define el campo gravitatorio g⃗ = F⃗/m. Fuera de una masa esférica M: g = GM/r².
Cerca de la superficie terrestre, g ≈ 9,81 N·kg⁻¹, numéricamente igual a 9,81 m·s⁻². El peso es entonces W = mg.
Los astronautas en órbita no están fuera de la gravedad. Parecen ingrávidos porque la nave y todo lo que contiene aceleran juntos en caída libre. El campo gravitatorio local puede seguir siendo intenso aunque una balanza marque casi cero.
Cuerpos esféricos y papel del radio
Fuera de un cuerpo esféricamente simétrico, su efecto gravitatorio es el mismo que si toda su masa estuviera concentrada en el centro. Por eso, en cálculos de altura debe utilizarse la distancia al centro del planeta, no solo la altura sobre la superficie.
Dentro de una esfera uniforme, la expresión GM/r² usando toda la masa ya no es válida: solo la masa encerrada dentro del radio r contribuye al campo neto hacia el centro de esa forma.
Es una consecuencia del teorema de las capas: una capa esférica atrae a una masa exterior como si toda su masa estuviera en el centro, mientras que el campo gravitatorio neto en cualquier punto interior de una capa esférica uniforme ideal es cero.
Las órbitas son trayectorias de caída
En una órbita circular, la gravedad proporciona la aceleración centrípeta. Igualando GMm/r² = mv²/r se obtiene v = √(GM/r). Las órbitas circulares más altas tienen menor velocidad orbital, aunque su periodo sea mayor.
Energía potencial gravitatoria y escape
Cuando importan grandes cambios de distancia, se toma como cero de energía potencial la separación infinita: U = −GMm/r.
El signo negativo indica que un par ligado tiene menos energía que las masas separadas en el infinito. Despreciando atmósfera y rotación, la velocidad mínima de lanzamiento que alcanza el infinito con velocidad final nula es vesc = √(2GM/R).
Fuerza gravitatoria y energía potencial son dos descripciones de la misma interacción. La fuerza describe cómo cambia localmente la cantidad de movimiento; la energía potencial facilita comparar estados. En una órbita circular la energía mecánica total es negativa, E = −GMm/(2r), lo que muestra que el satélite está gravitatoriamente ligado.
Ejemplos resueltos
1. Efecto de duplicar la distancia
Si dos masas se atraen con fuerza F a distancia r, a 2r la ley del inverso del cuadrado da F′ = F/4.
2. Campo gravitatorio a cierta altura
A una distancia 2R del centro terrestre, g(2R) = g(R)/4. Ese punto está a una altura R sobre la superficie.
3. Velocidad de una órbita circular
La gravedad suministra la fuerza centrípeta: GMm/r² = mv²/r. Al simplificar m y un factor r queda v = √(GM/r). En el modelo ideal, la masa del satélite no afecta a su velocidad orbital.