Alheimsþyngdarlögmálið
Alheimsþyngdarlögmál Newtons lýsir aðdrætti milli massa með einni reglu sem gildir um fallandi hluti, reikistjörnur og gervihnetti. Krafturinn veikist með fjarlægð en hverfur ekki skyndilega.
Alheimsþyngdarkrafturinn
Fyrir tvo punktmassa, eða kúlulaga samhverfa hnetti utan frá séð, er stærð kraftsins F = Gm₁m₂/r². Fjarlægðin r er milli massamiðja og G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Massarnir toga hvor í annan með jafnstórum og gagnstæðum krafti, en hröðunin getur verið ólík þar sem a = F/m.
Þetta er öfugt ferningslögmál: tvöföld fjarlægð gefur fjórðung af kraftinum. Mæla þarf milli miðja, ekki aðeins milli yfirborða.
Þyngdarsvið og þyngd
Þyngdarsviðið er g = GM/r². Nálægt yfirborði jarðar er g um 9,81 N kg⁻¹, tölulega sama og 9,81 m s⁻². Þyngdarkraftur á massa m er W = mg.
Geimfarar á sporbraut eru ekki utan þyngdarsviðsins. Þeir virðast þyngdarlausir því far og innihald þess falla frjálst saman. Sviðið getur því verið verulegt þótt vog sýni nær núlli.
Kúlulaga hnettir og hlutverk radíuss
Utan kúlulaga samhverfs hnattar er þyngdaráhrifin eins og allur massinn væri í miðjunni. Hæðarreikningar verða því að nota fjarlægð frá miðju reikistjörnunnar. Inni í einsleitum hnetti má ekki setja heildarmassann beint í GM/r²; aðeins massinn innan radíuss r leggur til með samsvarandi hætti. Þetta leiðir af skeljusetningunni.
Sporbraut er fallferill
Á sporbraut er hlutur í stöðugu frjálsu falli. Snertilhraðinn flytur hann áfram en þyngdarkrafturinn beygir hraðavigurinn sífellt inn á við. Fyrir hringbraut gildir GMm/r² = mv²/r og því v = √(GM/r). Hærri hringbraut hefur minni brautarhraða en lengri umferðartíma.
Þyngdarstöðuorka og lausn
Við stórar fjarlægðarbreytingar er núll stöðuorku valið í óendanleika: U = −GMm/r. Neikvætt formerki sýnir bundið kerfi. Lágmarks lausnarhraði frá radíus R er vesc = √(2GM/R) ef lofthjúp og snúningur eru hunsuð.
Kraftur og stöðuorka lýsa sömu víxlverkun frá tveimur sjónarhornum. Heildarorka á hringbraut er E = −GMm/(2r), neikvæð og því bundin.
Reiknuð dæmi
1. Tvöföld fjarlægð
Tveir massar togast á með krafti F við fjarlægð r. Hver er krafturinn við 2r?
Lausn
Þar sem F ∝ 1/r² fæst F′ = F/2² = F/4.
2. Svið í hæð
Við fjarlægð 2R frá miðju jarðar, hvert er hlutfall g miðað við yfirborðið R?
Lausn
g ∝ 1/r², þannig að g(2R) = g(R)/4. Punkturinn er einn jarðradíus yfir yfirborði.
3. Hraði á hringbraut
Leiddu út hraða lítils gervihnattar á hringbraut með radíus r um massa M.
Lausn
GMm/r² = mv²/r. Stytting gefur v = √(GM/r); massi gervihnattarins fellur út.
Nálægt yfirborði jarðar er g ≈ fasti gagnleg staðbundin nálgun. Við miklar hæðarbreytingar verður að halda r-háðinu; annars verður bæði sviðið og breyting stöðuorku rangmetin. Newtonslýsingin er mjög nákvæm svo lengi sem afstæðisfræðileg áhrif eru lítil.
Massa og þyngd má ekki rugla saman. Massi er eiginleiki hlutarins en þyngdarkrafturinn mg fer eftir staðbundnu þyngdarsviði. Sami hlutur hefur því sama massa á tungli og jörð en ólíka þyngd.
Skoðaðu tengslin: Öll námskeið · Frumefni