แรงโน้มถ่วงสากล

กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันอธิบายแรงดึงดูดระหว่างมวลจุด หรือวัตถุทรงกลมที่เหมาะสม ด้วยกฎผกผันกำลังสอง แนวคิดเดียวเชื่อมวัตถุตกกับวงโคจรของดาวเคราะห์และดาวเทียม

กฎผกผันกำลังสอง

สำหรับมวลจุด F=Gm₁m₂/r² โดย r คือระยะศูนย์กลางถึงศูนย์กลาง ไม่ใช่ระยะผิวถึงผิว สำหรับวัตถุทรงกลมสมมาตร ภายนอกวัตถุสามารถใช้มวลรวมที่ศูนย์กลางตาม shell theorem

ถ้า r เพิ่มสองเท่า F เหลือหนึ่งในสี่ ถ้ามวลหนึ่งเพิ่มสองเท่า F เพิ่มสองเท่า scaling นี้เป็นการตรวจคำตอบที่ดี

สนามโน้มถ่วง

มวลแหล่งกำเนิด M สร้างสนาม g=GM/r² ชี้เข้าหา M วัตถุทดสอบมวล m มี F⃗=m g⃗ ดังนั้นค่า g ที่ตำแหน่งหนึ่งไม่ขึ้นกับมวลของวัตถุทดสอบใน approximation ที่วัตถุเล็กมากเมื่อเทียบกับแหล่ง

ใกล้ผิวโลกใช้ g≈9.81 m s⁻² แต่ g เปลี่ยนกับระดับความสูงและละติจูด การถือ g คงที่จึงเป็น approximation ระยะใกล้

พลังงานศักย์

ถ้าเลือกศูนย์พลังงานที่อนันต์ U=−GMm/r เครื่องหมายลบหมายถึงสถานะ bound มีพลังงานต่ำกว่าการแยกมวลออกไปอนันต์

ใกล้ผิวโลกและ h เล็ก ใช้ ΔU≈mgh ได้ แต่ถ้า r เปลี่ยนมากต้องใช้รูป −GMm/r โดยตรง

วงโคจรและ free fall

วงโคจรวงกลมใช้แรงโน้มถ่วงเป็นแรงลัพธ์เข้าศูนย์กลาง GMm/r²=mv²/r ทำให้ v=√(GM/r) ดาวเทียมจึงอยู่ใน free fall ต่อเนื่องโดยมีความเร็วด้านข้างพอให้เส้นทางโค้งตามโลก

ภาวะไร้น้ำหนักในวงโคจรไม่ได้หมายถึงไม่มีแรงโน้มถ่วง แต่หมายถึงวัตถุและยานตกอิสระด้วยกันจน support force ต่ำมาก

ขอบเขตของ Newtonian gravity

แบบจำลองนิวตันแม่นยำมากในงานวิศวกรรมและระบบสุริยะจำนวนมาก แต่ในสนามแรงมากหรือ precision สูงต้องใช้ general relativity

การเลือกแบบจำลองควรขึ้นกับ regime และความแม่นยำที่ต้องการ ไม่ใช่เพียงเลือกทฤษฎีที่ซับซ้อนที่สุดเสมอ

escape speed และวงโคจรไม่ใช่สิ่งเดียวกัน

จากการอนุรักษ์พลังงาน ความเร็วหลุดพ้นอุดมคติที่รัศมี R คือ v_esc=√(2GM/R) โดยสมมติไม่มีบรรยากาศ ไม่ให้ thrust เพิ่ม และไม่คิดการหมุนของดาว การหลุดพ้นไม่ได้หมายความว่าแรงโน้มถ่วงกลายเป็นศูนย์ แต่หมายถึงพลังงานกลรวมเพียงพอให้ไปถึงอนันต์ด้วยความเร็วไม่ติดลบ

ที่รัศมีเดียวกัน ความเร็วหลุดพ้นเท่ากับ √2 เท่าของความเร็ววงโคจรวงกลม การเพิ่มความเร็วจากวงโคจรจึงเปลี่ยนทั้งรูปร่าง orbit และพลังงานรวมของยาน

วงโคจรทั่วไปเป็น ellipse ตามกฎ Kepler ไม่จำเป็นต้องเป็นวงกลม

กฎของ Kepler

สำหรับวงโคจรที่ครอบงำด้วยมวลศูนย์กลางเดียว กฎข้อสามให้ T²∝a³ โดย a คือกึ่งแกนเอก ไม่ใช่ระยะชั่วขณะทุกจุด วงโคจร ellipse จึงยัง obey ความสัมพันธ์ period เดียวกันกับวงกลมที่มี radius เท่ากับ a.

ในปัญหาหลายมวล สนามโน้มถ่วงรวมเป็นผลบวกเวกเตอร์ของสนามจากแต่ละมวล หลัก superposition นี้สำคัญเพราะทิศของแรงอาจหักล้างบางส่วนได้แม้แรงทุกคู่เป็นแรงดึงดูด.

แบบฝึกหัด

เพิ่มระยะ

r เพิ่มสองเท่า

เฉลย: แรงลดเหลือหนึ่งในสี่

วงโคจรต่ำ

r≈6.77×10⁶ m, GM≈3.986×10¹⁴

เฉลย: v≈7.67 km s⁻¹

พลังงานศักย์

มวลที่ระยะ r

เฉลย: U=−GMm/r