Gravitazione universale
La legge di gravitazione universale di Newton descrive l’attrazione tra masse con un’unica regola valida per corpi in caduta, pianeti e satelliti. La forza diminuisce con la distanza, ma non si annulla improvvisamente.
La forza gravitazionale universale
F = Gm₁m₂/r²
G = 6,67430×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Per corpi puntiformi o sfericamente simmetrici, r è la distanza tra i centri di massa.
Ciascuna massa attira l’altra con una forza di uguale modulo e verso opposto. Le loro accelerazioni possono differire perché a = F/m.
Campo gravitazionale e peso
Invece di ricalcolare la forza per ogni massa di prova, si definisce il campo gravitazionale g⃗ = F⃗/m. All’esterno di una massa sferica M: g = GM/r².
Vicino alla superficie terrestre, g ≈ 9,81 N·kg⁻¹, numericamente uguale a 9,81 m·s⁻². Il peso è allora P = mg.
Gli astronauti in orbita non sono fuori dalla gravità. Appaiono senza peso perché la navicella e tutto ciò che contiene accelerano insieme in caduta libera. Il campo gravitazionale locale può essere ancora notevole anche se una bilancia indica quasi zero.
Corpi sferici e ruolo del raggio
All’esterno di un corpo sfericamente simmetrico, il suo effetto gravitazionale è lo stesso che si avrebbe concentrando tutta la massa nel centro. Per questo, nei calcoli di quota si usa la distanza dal centro del pianeta, non soltanto l’altezza sopra la superficie.
All’interno di una sfera uniforme, la semplice espressione GM/r² con la massa totale non è più valida: contribuisce al campo netto verso il centro solo la massa racchiusa entro il raggio r.
È una conseguenza del teorema dei gusci: un guscio sferico attrae una massa esterna come se la propria massa fosse concentrata nel centro, mentre il campo gravitazionale netto in ogni punto interno a un guscio uniforme ideale è zero.
Le orbite sono traiettorie di caduta
In un’orbita circolare, la gravità fornisce l’accelerazione centripeta. Ponendo GMm/r² = mv²/r si ottiene v = √(GM/r). Le orbite circolari più alte hanno velocità orbitale minore, anche se il loro periodo è maggiore.
Energia potenziale gravitazionale e fuga
Quando contano grandi variazioni di distanza, si pone a zero l’energia potenziale a separazione infinita: U = −GMm/r.
Il segno negativo indica che una coppia legata ha energia minore rispetto alle masse separate all’infinito. Trascurando atmosfera e rotazione, la velocità minima di lancio che raggiunge l’infinito con velocità finale nulla è vesc = √(2GM/R).
Forza gravitazionale ed energia potenziale sono due descrizioni della stessa interazione. La forza dice come cambia localmente la quantità di moto; l’energia potenziale rende più semplice confrontare stati. In un’orbita circolare l’energia meccanica totale è negativa, E = −GMm/(2r), segno che il satellite è gravitazionalmente legato.
Esempi svolti
1. Raddoppiare la distanza
Se due masse si attraggono con forza F a distanza r, a 2r la legge dell’inverso del quadrato dà F′ = F/4.
2. Campo gravitazionale in quota
A distanza 2R dal centro della Terra, g(2R) = g(R)/4. Questo punto si trova a un raggio terrestre sopra la superficie.
3. Velocità di un’orbita circolare
La gravità fornisce la forza centripeta: GMm/r² = mv²/r. Semplificando m e un fattore r si ottiene v = √(GM/r). Nel modello ideale la massa del satellite non modifica la velocità orbitale.