Gravitation universelle
La même interaction gravitationnelle explique la chute d’un objet, le poids à la surface d’une planète et le mouvement d’un satellite. Newton l’a exprimée par une loi universelle qui dépend des deux masses et de la distance entre leurs centres.
La force gravitationnelle universelle
F = Gm₁m₂/r²
G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². La force est attractive et agit le long de la droite joignant les centres des deux masses.
Chaque corps exerce sur l’autre une force de même intensité et de sens opposé, conformément à la troisième loi de Newton.
Champ gravitationnel et poids
g = GM/r²
P = mg
Le champ gravitationnel décrit la force par unité de masse d’essai. Près de la surface terrestre, g vaut environ 9,81 N kg⁻¹, mais il diminue quand on s’éloigne du centre de la Terre.
La masse d’un objet ne change pas quand il va sur la Lune ; son poids, lui, change parce que le champ gravitationnel local est différent.
Corps sphériques et rôle de la distance
À l’extérieur d’un corps sphérique à répartition de masse symétrique, son champ est le même que si toute sa masse était concentrée au centre. C’est pourquoi r se mesure depuis le centre de la planète, pas depuis sa surface.
À l’intérieur d’une planète réelle, la dépendance n’est plus simplement 1/r² car seule une partie de la masse contribue comme elle le ferait depuis le centre.
Les orbites sont des chutes libres
Pour une orbite circulaire, la gravitation fournit l’accélération centripète. En égalant GMm/r² et mv²/r, on obtient v = √(GM/r).
Une orbite plus haute possède une vitesse orbitale circulaire plus faible, même si sa période est plus longue. Une orbite elliptique échange continuellement énergie cinétique et énergie potentielle gravitationnelle.
Énergie potentielle et vitesse de libération
U = −GMm/r
Le zéro d’énergie potentielle est généralement choisi à l’infini. L’énergie est donc négative pour un objet gravitationnellement lié.
La vitesse de libération au rayon r vaut vesc = √(2GM/r). Elle correspond, dans le modèle sans atmosphère ni propulsion supplémentaire, à l’énergie minimale permettant d’atteindre l’infini avec une vitesse finale nulle.
Exercices résolus
1. Effet de la distance
Si la distance entre deux masses est multipliée par 3, par quel facteur la force gravitationnelle change-t-elle ?
Solution
F ∝ 1/r², donc la force est divisée par 3² = 9.
2. Poids sur une planète
Un objet de 10 kg se trouve dans un champ de 3,7 N kg⁻¹. Quel est son poids ?
Solution
P = mg = 10 × 3,7 = 37 N.
3. Vitesse orbitale
Pourquoi un satellite circulaire plus éloigné du centre de la Terre se déplace-t-il moins vite ?
Solution
Parce que v = √(GM/r) : quand r augmente, la vitesse orbitale circulaire diminue.