Opća gravitacija

Zakon obrnutog kvadrata

Za dvije točkaste mase ili sferno simetrična tijela vrijedi F = Gm₁m₂/r², gdje je G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Udaljenost r mjeri se između središta masa.

Tijela djeluju jedno na drugo silama jednake veličine i suprotnog smjera. Udvostručenje r smanjuje silu na četvrtinu, a četverostruka udaljenost na šesnaestinu.

Gravitacijsko polje i težina

Polje mase M opisuje g = GM/r². Blizu Zemljine površine g ≈ 9,81 N/kg = 9,81 m/s², a veličina težine je W = mg.

Astronaut u orbiti nije izvan gravitacije. Letjelica i astronaut zajedno slobodno padaju pa vaga može pokazivati gotovo nulu iako je lokalno gravitacijsko polje i dalje znatno.

Sferna tijela i teorem ljuske

Izvan sferno simetričnog tijela gravitacijski učinak isti je kao da je sva masa koncentrirana u središtu. Na visini h zato koristimo r = R + h.

Unutar idealne jednoliko masivne sferne ljuske rezultantno polje je nula. Unutar pune kugle ne smije se u GM/r² jednostavno uvrstiti ukupna masa; važna je masa obuhvaćena zadanim polumjerom.

Orbita je neprekidni slobodni pad

Na orbiti gravitacija stalno zakreće vektor brzine. Za kružnu orbitu iz GMm/r² = mv²/r dobiva se v = √(GM/r). Viša kružna orbita ima manju brzinu, ali dulji period.

Masa malog satelita poništi se u idealnom izrazu. U točnom problemu dviju usporedivih masa oba se tijela gibaju oko zajedničkog središta mase.

Potencijalna energija i bijeg

Za velike promjene udaljenosti koristimo U = −GMm/r uz nulu u beskonačnosti. Negativna vrijednost znači da gravitacijski vezan sustav ima manju energiju od potpuno razdvojenih tijela.

Iz očuvanja energije slijedi v_esc = √(2GM/R) ako zanemarimo atmosferu i rotaciju. Ukupna mehanička energija kružne orbite je E = −GMm/(2r).

Sila i energija dva su opisa

Sila lokalno opisuje promjenu količine gibanja, dok potencijalna energija olakšava usporedbu stanja na različitim udaljenostima. Uz iste pretpostavke oba opisa moraju biti dosljedna.

Za male promjene visine blizu površine može se koristiti ΔU ≈ mgΔh. Za udaljenosti usporedive s polumjerom planeta potreban je puni izraz −GMm/r.

Provjera modela

Newtonov zakon izvrstan je za uobičajenu mehaniku planeta i satelita. Za vrlo jaka polja ili relativističku preciznost potrebna je opća relativnost.

Dimenzijska provjera Gm₁m₂/r² mora dati njutne. Također, prema zakonu 1/r² povećanje udaljenosti ne smije povećati silu.

Riješeni primjeri

1. Dvostruka udaljenost

2. Polje na 2R

3. Brzina kružne orbite