만유인력

만유인력

두 질량 사이의 중력 크기는 F = Gm₁m₂/r²입니다. G = 6.67430 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²이며, 점질량 또는 구대칭 천체에서는 r이 두 질량중심 사이의 거리입니다. 두 물체가 받는 힘의 크기는 같고 방향은 반대지만, a = F/m이므로 가속도 크기는 서로 다를 수 있습니다.

중력장과 무게

매 시험질량마다 힘을 다시 계산하는 대신 중력장을 g⃗ = F⃗/m으로 정의할 수 있습니다. 구대칭 질량 M 바깥에서는 g = GM/r²입니다. 지표면 근처에서는 약 9.81 N·kg⁻¹이고 수치적으로 9.81 m·s⁻²와 같습니다. 따라서 무게 W = mg입니다. 궤도의 우주비행사는 중력이 없는 곳에 있는 것이 아니라 우주선과 함께 자유낙하하므로 겉보기 무중력을 느낍니다.

구대칭 천체와 반지름

구대칭 천체 밖에서는 그 천체의 중력 효과가 모든 질량이 중심에 모여 있는 것과 같습니다. 그래서 고도 문제에서 r은 지표면으로부터의 높이가 아니라 행성 중심까지의 거리입니다. 균일한 구 내부에서는 전체 질량을 그대로 GM/r²에 넣을 수 없고, 반지름 r 안에 포함된 질량만 같은 방식으로 순수한 안쪽 중력장을 만듭니다. 이는 껍질 정리의 결과로, 이상적인 균일 구껍질 내부에서는 중력장이 서로 상쇄됩니다.

궤도는 계속되는 자유낙하

원궤도에서는 중력이 구심가속도를 제공합니다. GMm/r² = mv²/r로 놓으면 v = √(GM/r)입니다. 더 높은 원궤도에서는 속도가 더 작지만 공전 주기는 더 깁니다. 이상적인 식에서는 위성 자체의 질량이 약분됩니다.

중력 퍼텐셜 에너지와 탈출

거리가 크게 변할 때는 무한대에서 중력 퍼텐셜 에너지를 0으로 두어 U = −GMm/r로 씁니다. 음의 부호는 결합된 두 질량의 에너지가 무한히 떨어진 상태보다 낮다는 뜻입니다. 대기와 자전을 무시할 때 반지름 R에서 무한대로 겨우 도달하는 최소 속도는 v_esc = √(2GM/R)입니다. 원궤도의 총 역학적 에너지는 E = −GMm/(2r)로 음수이므로 위성은 중력적으로 결합되어 있습니다.

예제

1. 거리를 두 배로

거리 r에서 인력이 F인 두 질량을 2r까지 떼면 힘은 얼마입니까?

2. 고도에서의 중력장

지구 중심에서 2R 떨어진 곳의 중력장은 지표면 R에서의 값과 비교해 얼마입니까?

3. 원궤도 속도

질량 M 주위를 반지름 r의 원궤도로 도는 작은 위성의 속도를 유도해 보세요.