Định luật vạn vật hấp dẫn
Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton mô tả lực hút giữa các khối lượng bằng cùng một quy tắc cho vật rơi, hành tinh và vệ tinh. Lực yếu đi khi khoảng cách tăng nhưng không đột ngột biến mất.
Lực hấp dẫn vạn vật
F = Gm₁m₂/r²
Độ lớn lực giữa hai khối lượng là F = Gm₁m₂/r², với G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Với các chất điểm hoặc vật thể đối xứng cầu, r là khoảng cách giữa hai tâm khối lượng. Hai vật tác dụng lên nhau các lực có cùng độ lớn và ngược chiều, nhưng gia tốc có thể khác nhau vì a = F/m.
Khám phá luật nghịch đảo bình phương
Thay đổi khoảng cách theo hệ số k để thấy lực hấp dẫn thay đổi thế nào khi hai khối lượng giữ nguyên.
Trường hấp dẫn và trọng lượng
Thay vì tính lại lực cho từng khối lượng thử, ta định nghĩa trường hấp dẫn g⃗ = F⃗/m. Bên ngoài một khối lượng đối xứng cầu M, g = GM/r². Gần mặt đất, giá trị xấp xỉ 9,81 N·kg⁻¹, bằng về số với 9,81 m·s⁻². Trọng lượng khi đó là W = mg. Phi hành gia trên quỹ đạo không ở ngoài vùng hấp dẫn; họ có vẻ không trọng lượng vì cả tàu và mọi vật bên trong cùng rơi tự do.
Vật thể đối xứng cầu và vai trò của bán kính
Bên ngoài một vật thể đối xứng cầu, tác dụng hấp dẫn giống như toàn bộ khối lượng tập trung ở tâm. Vì vậy trong bài toán độ cao, r phải là khoảng cách đến tâm hành tinh, không chỉ là độ cao so với bề mặt. Bên trong một quả cầu đồng nhất, không thể dùng tổng khối lượng trực tiếp trong GM/r²; chỉ khối lượng nằm trong bán kính r góp phần theo cách tương ứng. Đây là hệ quả của định lý lớp vỏ: trường hấp dẫn bên trong một vỏ cầu đồng nhất lý tưởng bằng không.
Quỹ đạo là chuyển động rơi tự do liên tục
Trong quỹ đạo tròn, hấp dẫn cung cấp gia tốc hướng tâm. Đặt GMm/r² = mv²/r suy ra v = √(GM/r). Quỹ đạo tròn cao hơn có vận tốc nhỏ hơn nhưng chu kỳ dài hơn. Khối lượng của vệ tinh bị triệt tiêu trong mô hình lý tưởng.
Thế năng hấp dẫn và vận tốc thoát
U = −GMm/r
Khi khoảng cách thay đổi lớn, chọn thế năng bằng 0 ở vô cực cho U = −GMm/r. Dấu âm cho biết cặp vật liên kết có năng lượng thấp hơn trạng thái tách xa vô hạn. Bỏ qua khí quyển và sự quay, vận tốc nhỏ nhất từ bán kính R để vừa tới vô cực với vận tốc cuối bằng 0 là vesc = √(2GM/R). Với quỹ đạo tròn, tổng cơ năng E = −GMm/(2r) là âm.
Ví dụ có lời giải
1. Tăng khoảng cách gấp đôi
Hai khối lượng hút nhau với lực F ở khoảng cách r. Lực bằng bao nhiêu ở khoảng cách 2r?
Lời giải
Vì F ∝ 1/r² nên F′ = F/2² = F/4.
2. Trường hấp dẫn ở độ cao
Tại điểm cách tâm Trái Đất 2R, cường độ trường hấp dẫn bằng bao nhiêu so với ở bề mặt R?
Lời giải
g ∝ 1/r² nên g(2R) = g(R)/4. Điểm này cao một bán kính Trái Đất so với bề mặt.
3. Vận tốc quỹ đạo tròn
Hãy suy ra vận tốc của một vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo tròn bán kính r quanh khối lượng M.
Lời giải
Hấp dẫn cung cấp lực hướng tâm: GMm/r² = mv²/r. Rút gọn m và một r, được v = √(GM/r).