Universel gravitation
Den samme lov, der beskriver et faldende legeme, forklarer også Månens, satellitters og planeters bevægelse. Gravitationen svækkes med afstanden, men forsvinder ikke pludseligt.
Den universelle gravitationskraft
F = Gm₁m₂/r²
G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
For to punktmasser er F = Gm₁m₂/r², hvor G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². r måles mellem massemidtpunkterne. Hver masse påvirker den anden med samme kraftstørrelse i modsat retning; deres accelerationer kan være forskellige, fordi a=F/m.
Gravitationsfelt og tyngde
En masse M skaber et gravitationsfelt med størrelsen g = GM/r². Nær Jordens overflade er g cirka 9,81 N kg⁻¹, og tyngdekraften på m er W=mg. Astronauter i kredsløb er ikke uden for tyngdefeltet; de og rumfartøjet er i fælles frit fald.
Kugleformede legemer og radius
Uden for en kuglesymmetrisk massefordeling er feltet som fra en punktmasse i centrum. Inde i en ensartet kugle bidrager kun den indesluttede masse til den radiale nettokraft, så feltet fortsætter ikke med en 1/r²-stigning mod centrum.
Et kredsløb er et fortsat fald
I et cirkulært kredsløb leverer gravitationen netop centripetalaccelerationen: GMm/r² = mv²/r, så v = √(GM/r). Et højere cirkulært kredsløb har lavere omløbshastighed og længere periode.
Gravitationel potentiel energi og undvigelse
Vælges U=0 ved uendelig afstand, er U = −GMm/r. Det negative tegn viser, at systemet er bundet. Energibalance giver vesc = √(2GM/R), og for et cirkulært kredsløb er E = −GMm/(2r).
1/r²-loven forklarer også, hvorfor konstant g er en god lokal tilnærmelse nær Jordens overflade, men ikke på orbital skala. Når højden er lille i forhold til Jordens radius, ændres r kun lidt; ved større højder må den fulde GM/r²-afhængighed bruges.
Feltet er en egenskab ved kildemasserne, mens kraften også afhænger af testmassen. Derfor kan g beregnes først og F=mg derefter anvendes på ethvert legeme. Masse og tyngde er forskellige størrelser: massen er den samme, mens tyngden følger det lokale felt.
Vægtløshed i kredsløb betyder primært fravær af en støttekraft, ikke fravær af gravitation. I lavt jordkredsløb er tyngdefeltet stadig kraftigt. Rumfartøj, astronaut og løse genstande får næsten samme faldacceleration og svæver derfor relativt til hinanden.
Et cirkulært kredsløb kan ses som kombinationen af tangentiel hastighed og vedvarende fald. For lille hastighed giver en bane, der rammer planeten; den rette hastighed får faldet til at krumme rundt om planeten.
Den negative potentielle energi er ikke et tegn på “negativ fysisk energi” i absolut forstand; nulpunktet er valgt ved uendelig afstand. Det nyttige er energiforskellen. For et bundet system skal der tilføres energi for at flytte masserne så langt fra hinanden, at deres relative hastighed kan gå mod nul ved uendelig afstand.
Gennemregnede eksempler
Fordoblet afstand
Hvad sker der med F, hvis r fordobles?
Løsning
F∝1/r², så F′=F/4.
Felt ved to jordradier
Sammenlign g ved r=2R med overfladeværdien.
Løsning
Forholdet er 1/4.
Cirkulær omløbshastighed
Udled v for et cirkulært kredsløb.
Løsning
GMm/r²=mv²/r giver v=√(GM/r).