Закон всесвітнього тяжіння
Ньютонівський закон тяжіння описує силу між двома масами як F = Gm₁m₂/r². Він пояснює падіння тіл, орбіти та багато астрономічних явищ, якщо поля не надто сильні, швидкості не релятивістські, а потрібна точність не вимагає загальної теорії відносності.
Обернено-квадратичний закон
Сила зменшується як квадрат відстані між центрами мас. Якщо відстань подвоїти, сила стане у чотири рази меншою. Геометрично така залежність пов’язана з тим, що потік центрального поля розподіляється по поверхні сфер, площа яких зростає як r².
Маса і вага
Маса є властивістю тіла, а вага пов’язана з гравітаційною взаємодією та умовами руху. Біля поверхні Землі F ≈ mg, де g ≈ GMЗ/RЗ². На іншій планеті та сама маса матиме іншу вагу через інші M і R.
Гравітаційне поле
Зручно визначити поле g = F/mпробної = GM/r². Воно показує прискорення, яке мала б мала пробна маса. Поле є властивістю джерела і простору навколо нього, а не залежить від вибраної пробної маси.
Потенціальна енергія
Для двох точкових мас U = −Gm₁m₂/r, якщо нуль обрано на нескінченності. Від’ємний знак означає зв’язаний стан: щоб рознести маси нескінченно далеко, треба додати енергію. Похідна потенціалу за координатою пов’язана з силою.
Орбіти
Кругова орбіта виникає, коли гравітаційне прискорення забезпечує потрібне доцентрове прискорення. Звідси v = √(GM/r). Реальні орбіти часто еліптичні; закони Кеплера випливають із ньютонівської механіки для двотільної задачі.
Сферичні тіла
Зовні сферично симетричного тіла його гравітаційне поле таке, ніби вся маса зосереджена в центрі. Усередині розподіл маси має значення. Це важливо для планет, зір і задач про зміну g з глибиною.
Межі Ньютона
Для Меркурія, чорних дір, гравітаційних хвиль або дуже точних часових вимірювань потрібна загальна теорія відносності, де гравітація описується геометрією простору-часу. Ньютонівський закон залишається надзвичайно точним наближенням у слабких полях і при малих швидкостях.
Швидкість втечі
Із закону збереження енергії випливає швидкість втечі vₑ = √(2GM/R) для старту з поверхні сферичного тіла без подальшої тяги та без атмосфери. Вона не означає, що об’єкт мусить летіти вертикально або постійно з цією швидкістю. Це енергетичний поріг: якщо повна механічна енергія не від’ємна, траєкторія не є зв’язаною. Атмосферний опір і обертання планети змінюють практичну задачу запуску.
Вправа
Як зміниться гравітаційна сила між двома масами, якщо відстань між ними збільшити утричі?
Розв’язання
Через залежність 1/r² сила стане у 3² = 9 разів меншою. Маси при цьому не змінюються.