Gravitació universal
La mateixa llei que descriu la caiguda d’un objecte permet entendre el moviment de la Lluna, els satèl·lits i els planetes. La gravetat s’afebleix amb la distància, però no s’atura de cop: és una interacció de llarg abast.
La força gravitatòria universal
F = Gm₁m₂/r²
G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
La distància r es mesura entre els centres de massa quan els cossos es poden tractar com a puntuals o esfèricament simètrics. Cada massa estira l’altra amb una força de la mateixa magnitud i sentit oposat. Les acceleracions poden ser molt diferents perquè a = F/m.
Camp gravitatori i pes
Una massa M crea al seu voltant un camp gravitatori. A una distància r del seu centre, la magnitud és g = GM/r². Prop de la superfície terrestre, g és aproximadament 9,81 N kg⁻¹, i el pes d’una massa m és W = mg.
Un astronauta en òrbita no és fora de la gravetat. Està en caiguda lliure contínua juntament amb la nau; per això experimenta ingravidesa aparent.
Cossos esfèrics i paper del radi
El teorema de les capes permet tractar una distribució esfèrica de massa, vista des de l’exterior, com si tota la massa fos concentrada al centre. Per això el mateix GM/r² funciona per a planetes aproximadament esfèrics.
Dins d’una esfera de densitat uniforme, en canvi, només la massa situada a un radi menor que la posició considerada contribueix a la força neta radial. Això fa que el camp no continuï augmentant com 1/r² cap al centre.
Una òrbita és una trajectòria de caiguda
Per a una òrbita circular, la gravetat proporciona exactament l’acceleració centrípeta: GMm/r² = mv²/r. D’aquí resulta v = √(GM/r). Una òrbita circular més alta té una velocitat orbital menor i, alhora, un període més llarg.
Energia potencial gravitatòria i velocitat d’escapament
Si es tria U = 0 a l’infinit, l’energia potencial d’una massa m en el camp d’una massa M és U = −GMm/r. El signe negatiu indica que un sistema lligat té menys energia que dues masses separades infinitament.
Igualant l’energia cinètica inicial a l’energia necessària per arribar a l’infinit amb velocitat final nul·la s’obté vesc = √(2GM/R). En una òrbita circular, l’energia mecànica total és E = −GMm/(2r).
La llei inversa al quadrat també explica per què una diferència aparentment modesta d’altura pot ser negligible prop de la superfície terrestre però decisiva a escala orbital. Quan r canvia poc respecte del radi de la Terra, g és gairebé constant; quan r és comparable amb el radi planetari, cal tornar a GM/r² i no tractar g com una constant universal.
El camp és una propietat de les masses font; la força depèn, a més, de la massa de prova. Aquesta separació és útil perquè permet calcular primer g en cada punt i després aplicar F=mg a qualsevol objecte. També evita confondre massa amb pes: la massa no canvia en traslladar l’objecte, mentre que el pes sí que canvia amb el camp.
La paraula “ingravidesa” en òrbita és enganyosa si s’interpreta com absència de gravetat. A l’altura de moltes estacions orbitals el camp continua sent intens. El que desapareix és la força de suport: nau, astronauta i objectes de l’interior comparteixen essencialment la mateixa acceleració de caiguda.
En una òrbita circular, una velocitat tangent massa petita fa que la trajectòria talli el planeta; una velocitat adequada corba la caiguda al mateix ritme que la superfície s’allunya. Aquesta és la connexió geomètrica entre la llei de Newton, la velocitat orbital i la idea d’una trajectòria de caiguda contínua.
Exemples resolts
Doblar la separació
Què passa amb la força si la distància entre dues masses es duplica?
Solució
Com que F ∝ 1/r², substituir r per 2r dona F′ = F/4.
Camp a dos radis terrestres
Compara g a r = 2R amb el valor a la superfície R.
Solució
g(2R)/g(R) = R²/(2R)² = 1/4.
Velocitat orbital circular
Deriva la velocitat d’una òrbita circular al voltant d’una massa M.
Solució
Igualant GMm/r² a mv²/r i simplificant m s’obté v = √(GM/r).