Visuotinė trauka

Niutono visuotinės traukos dėsnis viena taisykle aprašo krintančius kūnus, planetas ir palydovus. Traukos jėga mažėja didėjant atstumui pagal atvirkštinio kvadrato dėsnį, tačiau ties jokia baigtine riba staiga neišnyksta.

Visuotinė gravitacinė jėga

F = Gm₁m₂/r²

Gravitacijos konstanta G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Taškiniams arba sferiškai simetriškiems kūnams r matuojamas tarp masės centrų. Kūnai vienas kitą traukia vienodo dydžio ir priešingos krypties jėgomis; jų pagreičiai gali skirtis, nes a=F/m.

Gravitacija paklūsta atvirkštinio kvadrato dėsniui. Padvigubinus atstumą tarp dviejų taškinių masių, jėga sumažėja keturis kartus.

Atvirkštinio kvadrato priklausomybės tyrimas

Atstumo daugiklis k

Gravitacinis laukas ir svoris

Vietoj jėgos perskaičiavimo kiekvienai bandomajai masei apibrėžiame gravitacinį lauką g⃗=F⃗/m. Už sferinės masės M ribų jo modulis g=GM/r², o kryptis nukreipta į centrą.

Prie Žemės paviršiaus g≈9,81 N·kg⁻¹=9,81 m·s⁻², todėl svoris W=mg. Orbitoje esantys astronautai nėra už gravitacijos ribų: jie atrodo nesvarūs, nes erdvėlaivis ir jo viduje esantys kūnai kartu laisvai krinta.

Sferiniai kūnai ir spindulio vaidmuo

Už sferiškai simetriško kūno ribų jo gravitacinis poveikis toks, tarsi visa masė būtų sutelkta centre. Todėl aukščio uždaviniuose r yra atstumas iki planetos centro, o ne tik aukštis virš paviršiaus.

Vienalytės sferos viduje negalima paprastai naudoti GM/r² su visa M mase; svarbi tik spindulio r viduje esanti masė. Tai susiję su sferinio sluoksnio teorema: idealaus vienalyčio sferinio apvalkalo viduje bendras gravitacinis laukas lygus nuliui.

Orbita yra nuolatinis laisvasis kritimas

Orbita – nuolatinis laisvasis kritimas. Tangentinė judėjimo dalis neša kūną pirmyn, o gravitacija nuolat suka jo greičio vektorių centrinio kūno link.

Apskritiminėje orbitoje gravitacija suteikia įcentrinį pagreitį. Iš GMm/r²=mv²/r gauname v=√(GM/r). Aukštesnėse apskritiminėse orbitose greitis mažesnis, nors apsisukimo periodas ilgesnis.

Gravitacinė potencinė energija ir pabėgimo greitis

Kai atstumas smarkiai kinta, patogu potencinės energijos nulį pasirinkti begalybėje:

U = −GMm/r

Neigiamas ženklas rodo susietą būseną. Nepaisant atmosferos ir planetos sukimosi, mažiausias pradinis greitis, leidžiantis pasiekti begalybę su nuliniu galutiniu greičiu, yra v_esc=√(2GM/R). Apskritiminės orbitos bendra mechaninė energija E=−GMm/(2r), taigi taip pat neigiama.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Atstumo padvigubinimas

Dvi masės, esančios r atstumu, traukia viena kitą jėga F. Kokia jėga bus esant 2r?

Sprendimas

Kadangi F∝1/r², F′=F/2²=F/4.

2. Laukas aukštyje

Koks gravitacinio lauko stipris 2R atstumu nuo Žemės centro, palyginti su verte ties R?

Sprendimas

g∝1/r², todėl g(2R)=g(R)/4. Šis taškas yra per vieną Žemės spindulį virš paviršiaus.

3. Apskritiminės orbitos greitis

Išveskite mažo palydovo greitį v, kai jis juda r spindulio apskritimine orbita aplink masę M.

Sprendimas

GMm/r²=mv²/r. Sutrumpinus m ir vieną r gauname v=√(GM/r). Idealiu atveju palydovo masė orbitinio greičio nekeičia.