Universell gravitasjon
Newtons universelle gravitasjonslov beskriver tiltrekningen mellom masser med én regel som virker for fallende gjenstander, planeter og satellitter. Kraften blir svakere med avstanden, men slår aldri plutselig av.
Den universelle gravitasjonskraften
For to punktmasser, eller to sfærisk symmetriske legemer sett utenfra, er kraftens størrelse F = Gm₁m₂/r², der r måles mellom massesentrene og G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Hver masse trekker den andre med samme kraftstørrelse i motsatt retning, men akselerasjonene kan være ulike fordi a = F/m.
Dette er en invers-kvadrat-lov: dobles avstanden, blir kraften en fjerdedel. Det er avstanden mellom sentrene som teller, ikke bare avstanden mellom overflatene.
Gravitasjonsfelt og tyngde
I stedet for å beregne kraften på hver testmasse kan vi beskrive gravitasjonsfeltet: g = GM/r². Nær jordoverflaten er g omtrent 9,81 N kg⁻¹, numerisk lik 9,81 m s⁻². Tyngdekraften på en masse m er da W = mg.
Astronauter i bane er ikke utenfor gravitasjonen. De opplever vektløshet fordi romfartøyet og alt inni faller fritt sammen. Feltet kan fortsatt være betydelig selv om en vekt viser nær null.
Sfæriske legemer og betydningen av radius
Utenfor et sfærisk symmetrisk legeme er gravitasjonen den samme som om hele massen lå i sentrum. Derfor må høydeberegninger bruke avstanden fra planetens sentrum. Inne i en homogen sfære kan man ikke bruke totalmassen direkte i GM/r²; bare massen innenfor radius r bidrar på den relevante måten. Dette følger av skallteoremet.
Baner er fallbevegelser
En bane er kontinuerlig fritt fall. Tangentialhastigheten fører objektet fremover mens gravitasjonen hele tiden bøyer hastighetsvektoren inn mot sentrallegemet. For en sirkelbane gir likningen GMm/r² = mv²/r v = √(GM/r). Høyere sirkulære baner har lavere banehastighet, men lengre omløpstid.
Gravitasjonell potensiell energi og flukt
Når avstanden endres mye, velges nullpunktet for potensiell energi ved uendelig avstand: U = −GMm/r. Det negative fortegnet viser at et bundet system har lavere energi enn to masser uendelig langt fra hverandre. Fluktfarten fra radius R er vesc = √(2GM/R) når atmosfære og rotasjon neglisjeres.
Kraft og potensiell energi er to beskrivelser av samme vekselvirkning. For en sirkelbane er total mekanisk energi E = −GMm/(2r), altså negativ: satellitten er gravitasjonelt bundet.
Regneeksempler
1. Doblet avstand
To masser tiltrekker hverandre med kraft F ved avstand r. Hva blir kraften ved 2r?
Løsning
Siden F ∝ 1/r², blir F′ = F/2² = F/4.
2. Feltstyrke i høyden
Ved avstand 2R fra jordens sentrum, hvor stor er feltstyrken sammenlignet med ved overflaten R?
Løsning
g ∝ 1/r², derfor g(2R) = g(R)/4. Punktet ligger én jordradius over overflaten.
3. Hastighet i sirkelbane
Utled banehastigheten til en liten satellitt i sirkelbane med radius r rundt masse M.
Løsning
Gravitasjonen gir sentripetalkraften: GMm/r² = mv²/r. Etter forkorting får vi v = √(GM/r). Satellittens egen masse faller bort.
Den vanlige tilnærmingen g ≈ konstant er bare lokal. Over store høydeendringer må r-avhengigheten beholdes; ellers overvurderes feltet og endringen i potensiell energi. Newtons modell beskriver planet- og satellittbevegelse svært godt når relativistiske effekter er små.
En viktig modellkontroll er å skille masse fra vekt. Massen er en egenskap ved legemet, mens vekten mg avhenger av det lokale gravitasjonsfeltet. Samme objekt har derfor samme masse på Månen og Jorden, men ulik tyngdekraft.
Se sammenhengen: Alle kurs · Grunnstoffer