Flux i continuïtat
L’equació de continuïtat no és sobretot una fórmula de canonades: és un balanç de massa. Un cop aquest principi és clar, estrenyiments, ramificacions, broquets i fluxos compressibles es converteixen en variants del mateix argument de conservació.
Cabal volumètric i cabal màssic
En una secció d’àrea A, durant un interval Δt un fluid amb velocitat normal mitjana v recorre aproximadament vΔt. Per tant ΔV = AvΔt i Q = dV/dt = Av, amb Q en m³ s⁻¹.
Si la densitat és ρ, el cabal màssic és ṁ = ρAv. Aquesta és la magnitud més general perquè la massa es conserva encara que la densitat canviï.
Continuïtat unidimensional estacionària
Si no s’acumula massa entre dues seccions, ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂. En un líquid pràcticament incompressible, ρ és gairebé constant i queda A₁v₁ = A₂v₂.
v representa una velocitat normal mitjana a la secció, no necessàriament la mateixa velocitat a tots els punts del perfil.
Exemple resolt: un broquet
L’aigua circula per una mànega de diàmetre 3,0 cm a 1,5 m s⁻¹ i entra en un broquet de diàmetre 1,0 cm.
Com que A ∝ d², A₁/A₂ = (3,0/1,0)² = 9.
Per tant v₂ = 9 × 1,5 = 13,5 m s⁻¹.
La velocitat augmenta per nou, no per tres, perquè l’àrea depèn del quadrat del diàmetre.
Ramificacions i emmagatzematge
Unió estacionària incompressible
Qentrada = Q₁ + Q₂ + …. La suma dels cabals de sortida iguala el d’entrada.
Balanç general de massa
ṁentrada − ṁsortida = dMinterior/dt. Si un dipòsit s’omple, entrada i sortida no han de coincidir instantàniament.
Aquesta visió de volum de control evita l’error de pensar que totes les branques han de transportar el mateix cabal.
Forma local de l’equació
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
El primer terme mesura el canvi local de densitat; la divergència mesura si el flux màssic surt d’una petita regió o hi convergeix. Per a flux incompressible, una conseqüència habitual és ∇·u = 0.
“Incompressible” significa que un element de fluid manté gairebé la seva densitat mentre es mou; no vol dir que tots els punts de qualsevol problema hagin de compartir el mateix valor numèric en qualsevol circumstància.
Continuïtat no és Bernoulli
Continuïtat
Prové de la conservació de la massa i relaciona ρ, A i v.
Bernoulli
Prové d’un balanç d’energia amb hipòtesis addicionals i relaciona pressió, velocitat i altura.
Un estrenyiment pot obligar la velocitat a augmentar per continuïtat, però la continuïtat tota sola no determina la pressió.
Experiment i límits del model
Es pot recollir el fluid de sortida durant un temps mesurat: volum dividit per temps dona Q. Mesurant el diàmetre interior s’obté A i, per tant, la velocitat mitjana v = Q/A. Repetir-ho amb un altre broquet prova directament la relació àrea–velocitat.
La forma A₁v₁ = A₂v₂ pressuposa flux estacionari, incompressible i sense fuites ni acumulació entre seccions. En un gas amb variació important de densitat cal conservar ρAv; en un dipòsit que s’omple cal incloure l’acumulació.
La relació Q=Av fa servir una velocitat mitjana a la secció. En un fluid viscós real, el perfil pot ser molt diferent de punt a punt, però el cabal encara és la integral de la component normal de la velocitat sobre l’àrea. La forma Av és exacta si v s’entén com aquest valor mitjà apropiat.
En una ramificació no hi ha cap regla que obligui les velocitats o els cabals de totes les sortides a ser iguals. El que ha de quadrar és el balanç total de massa. Les àrees diferents i les resistències hidràuliques poden repartir el cabal de manera molt desigual sense violar continuïtat.
Per a un gas, un augment de velocitat pot anar acompanyat d’una disminució de densitat. En aquest cas conservar només Av confon volum amb massa. La forma ρAv manté el balanç correcte i mostra per què els problemes compressibles necessiten informació termodinàmica addicional.
Continuïtat tampoc diu que una zona més ràpida hagi de tenir automàticament menys pressió. Aquesta conclusió pot aparèixer de Bernoulli en condicions concretes, però necessita un balanç d’energia i hipòtesis sobre viscositat, estacionarietat i recorregut. Separar les dues lleis evita una de les confusions més freqüents de mecànica de fluids.
Exercicis
Estrenyiment d’una canonada
Un líquid incompressible circula a 2,0 m s⁻¹ per 6,0 cm² i la secció es redueix a 2,0 cm². Troba v₂.
Solució
v₂ = (6,0/2,0) × 2,0 = 6,0 m s⁻¹.
Junció
Arriben 12 L s⁻¹ a una junció. Una branca en transporta 4 L s⁻¹. Sense acumulació, quin cabal porta l’altra?
Solució
Q₂ = 12 − 4 = 8 L s⁻¹.
Flux compressible
Per què A₁v₁ = A₂v₂ és insuficient quan la densitat d’un gas canvia molt?
Solució
Perquè el volum no és la magnitud conservada. Cal conservar el cabal màssic: ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂.