Aliran dan kontinuitas
Persamaan kontinuitas bukan terutama “rumus pipa”. Persamaan ini adalah pernyataan bahwa massa harus tetap diperhitungkan. Dengan gagasan itu, penyempitan, percabangan, nosel, dan aliran mampat menjadi variasi dari argumen kekekalan yang sama.
Debit volume dan laju aliran massa
Q = dV/dt = Av · ṁ = ρAv
Ambil penampang seluas A. Dalam selang waktu singkat Δt, fluida dengan kecepatan normal rata-rata v bergerak kira-kira sejauh vΔt, sehingga volume yang lewat ΔV=AvΔt. Maka Q=dV/dt=Av, dengan satuan SI m³·s⁻¹. Jika massa jenisnya ρ, laju aliran massa adalah ṁ=ρAv. Besaran ini lebih umum karena massa tetap kekal walaupun massa jenis berubah. Penampang yang lebih sempit mengharuskan kecepatan rata-rata lebih besar hanya bila aliran tak termampatkan yang sama melewatinya terus-menerus; bukan aturan umum bahwa semua pipa sempit selalu mengalir lebih cepat.
Kontinuitas sebagai kekekalan massa
ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂
Untuk aliran tunak melalui satu masuk dan satu keluar, bila tidak ada massa yang menumpuk di dalam volume kontrol maka laju aliran massa harus sama: ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Untuk fluida tak termampatkan, ρ₁=ρ₂ sehingga A₁v₁=A₂v₂=Q. Jika luas menjadi seperempat, kecepatan rata-rata menjadi empat kali. Luas, bukan diameter, yang masuk dalam persamaan.
Contoh: nosel
Air mengalir dalam selang berdiameter 3,0 cm dengan kecepatan 1,5 m·s⁻¹ lalu masuk ke nosel berdiameter 1,0 cm. Karena A∝d², A₁/A₂=(3,0/1,0)²=9. Jadi v₂=9×1,5=13,5 m·s⁻¹. Kecepatan bertambah sembilan kali, bukan tiga, karena diameter yang menjadi sepertiga membuat luas menjadi sepersembilan.
Percabangan dan penyimpanan
Simpang tunak tak termampatkan
Tanpa penyimpanan pada simpang, Qin=Q₁+Q₂+…. Jumlah debit keluar sama dengan debit masuk; tiap cabang tidak harus membawa debit yang sama.
Neraca massa umum
Secara umum, ṁin−ṁout=dMinside/dt. Jika tangki sedang terisi atau terkuras, aliran masuk dan keluar pada saat itu tidak perlu sama.
Bentuk lokal persamaan kontinuitas
Rumus pipa hanyalah kasus khusus dari persamaan medan ∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0. Suku pertama mengukur perubahan massa jenis lokal, sedangkan suku divergensi mengukur apakah fluks massa menyebar keluar atau berkumpul ke suatu daerah kecil. Untuk aliran tak termampatkan, konsekuensi yang sering dipakai adalah ∇·u=0. “Tak termampatkan” berarti elemen fluida mempertahankan massa jenis hampir tetap saat bergerak, bukan berarti setiap titik dalam setiap persoalan harus mempunyai angka massa jenis yang sama.
Kontinuitas bukan persamaan Bernoulli
Kontinuitas
Berasal dari kekekalan massa dan menghubungkan ρ, A, serta v.
Bernoulli
Berasal dari neraca energi dengan asumsi tambahan dan menghubungkan tekanan, kecepatan, serta ketinggian sepanjang garis arus. Penyempitan dapat memaksa kecepatan naik melalui kontinuitas, tetapi tekanan tidak dapat ditentukan dari kontinuitas saja.
Eksperimen dan batas model
Uji sederhana dilakukan dengan menampung fluida keluar selama waktu terukur. Volume dibagi waktu memberi Q; diameter dalam memberi A sehingga kecepatan rata-rata v=Q/A. Mengulang dengan nosel berbeda menguji langsung hubungan luas–kecepatan. Bentuk A₁v₁=A₂v₂ mengasumsikan aliran tunak, tak termampatkan, tanpa kebocoran, dan tanpa penyimpanan di antara dua penampang. Untuk gas yang massa jenisnya berubah besar gunakan ρAv; untuk tangki yang mengisi/mengosong gunakan suku akumulasi; kebocoran diperlakukan sebagai keluaran tambahan.
Latihan
Penyempitan pipa
Cairan tak termampatkan mengalir 2,0 m·s⁻¹ melalui 6,0 cm² lalu pipa menyempit menjadi 2,0 cm². Berapa kecepatan rata-rata baru?
Penyelesaian
A₁v₁=A₂v₂, jadi v₂=(6,0/2,0)×2,0=6,0 m·s⁻¹.
Percabangan
Aliran tunak tak termampatkan 12 L·s⁻¹ mencapai simpang. Satu cabang membawa 4 L·s⁻¹. Tanpa penyimpanan, berapa cabang lainnya?
Penyelesaian
Q₂=12−4=8 L·s⁻¹.
Aliran mampat
Mengapa A₁v₁=A₂v₂ tidak cukup ketika massa jenis gas berubah besar?
Penyelesaian
Karena debit volume tidak kekal saat massa jenis berubah. Untuk aliran tunak satu masuk–satu keluar gunakan ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂.