Strömung und Kontinuität
Die Kontinuitätsgleichung ist nicht in erster Linie eine Rohrformel. Sie drückt aus, dass Masse bilanziert werden muss. Ist dieser Gedanke klar, werden Verengungen, Verzweigungen, Düsen und sogar Aufgaben zu kompressiblen Strömungen zu Varianten desselben Erhaltungssatzes.
Volumenstrom und Massenstrom
Betrachte einen Querschnitt der Fläche A. In einer kurzen Zeit Δt legt ein Fluid mit mittlerer Normalgeschwindigkeit v die Strecke vΔt zurück; das durch den Querschnitt strömende Volumen ist daher näherungsweise ΔV = AvΔt. Somit gilt:
Q = dV/dt = Av
Q ist der Volumenstrom in m³·s⁻¹.
Bei der Dichte ρ ist die pro Sekunde hindurchtretende Masse ṁ = ρAv. Diese Größe ist allgemeiner, weil die Masse auch bei veränderlicher Dichte erhalten bleibt.
Kontinuität als Massenerhaltung
Bei stationärer Strömung mit einem Einlass und einem Auslass kann sich im betrachteten Gebiet keine Masse ansammeln. Die Massenströme müssen übereinstimmen:
ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂
Für ein inkompressibles Fluid gilt ρ₁ = ρ₂, also:
A₁v₁ = A₂v₂ = Q
Sinkt die Fläche auf ein Viertel, steigt die mittlere Geschwindigkeit um den Faktor vier. Entscheidend ist die Geometrie, denn in der Gleichung steht die Fläche und nicht der Durchmesser.
Durchgerechnetes Beispiel: Düse
Wasser strömt mit 1,5 m·s⁻¹ durch einen Schlauch mit 3,0 cm Durchmesser und tritt in eine Düse mit 1,0 cm Durchmesser ein.
Da A ∝ d² gilt, A₁/A₂ = (3,0/1,0)² = 9.
Dann ist v₂ = (A₁/A₂)v₁ = 9 × 1,5 = 13,5 m s⁻¹.
Die Geschwindigkeit steigt um den Faktor neun und nicht drei, weil eine Verringerung des Durchmessers auf ein Drittel die Fläche auf ein Neuntel verkleinert.
Verzweigungen und Speicherung
Stationäre inkompressible Verzweigung
Qein = Q₁ + Q₂ + …
Der gesamte austretende Volumenstrom ist gleich dem gesamten eintretenden Volumenstrom.
Allgemeine Massenbilanz
ṁein − ṁaus = dMinnen/dt
Wenn sich ein Behälter füllt oder leert, müssen Zu- und Abstrom in diesem Augenblick nicht gleich sein.
Die Betrachtung eines Kontrollvolumens verhindert einen häufigen Fehler: Kontinuität bedeutet nicht, dass jede Verzweigung denselben Volumenstrom führen muss.
Lokale Form der Gleichung
Die Rohrformel ist ein Spezialfall einer Feldgleichung:
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
Der erste Term misst die lokale Dichteänderung; der Divergenzterm beschreibt, ob Massenfluss aus einem kleinen Gebiet herausströmt oder darin zusammenläuft. Für inkompressible Strömung folgt häufig ∇·u = 0.
„Inkompressibel“ bedeutet, dass ein mitbewegtes Fluidelement im Wesentlichen dieselbe Dichte behält. Es bedeutet nicht, dass unter allen Umständen an jedem Punkt eines Problems derselbe Zahlenwert der Dichte vorliegen muss.
Kontinuität ist nicht Bernoulli
Kontinuität
Folgt aus Massenerhaltung.
Verknüpft ρ, A und v.
Bernoulli
Folgt aus einer Energiebilanz unter zusätzlichen Annahmen.
Verknüpft Druck, Geschwindigkeit und Höhe entlang einer Stromlinie.
Eine Verengung kann aufgrund der Kontinuität eine höhere Geschwindigkeit erzwingen, doch die Kontinuitätsgleichung allein bestimmt den Druck nicht. Dafür ist eine Impuls- oder Energiebeziehung mit den zugehörigen Annahmen erforderlich.
Experiment und Modellgrenzen
Ein einfacher Versuch besteht darin, das austretende Fluid während einer gemessenen Zeit zu sammeln. Das gesammelte Volumen geteilt durch die Zeit ergibt Q; aus dem Innendurchmesser folgt A und damit die mittlere Geschwindigkeit v = Q/A. Eine Wiederholung mit einer anderen Düse prüft die Beziehung zwischen Fläche und Geschwindigkeit direkt.
Die einfache Form A₁v₁ = A₂v₂ setzt stationäre, inkompressible Strömung ohne Leckage oder Speicherung zwischen den Querschnitten voraus. Bei einem Gas mit starker Dichteänderung verwendet man ρAv. Bei einem sich füllenden Behälter muss die Speicherung berücksichtigt werden. Bei einer undichten Leitung ist das Leck als zusätzlicher Auslass einzubeziehen.
Aufgaben
Rohrverengung
Eine inkompressible Flüssigkeit strömt mit 2,0 m·s⁻¹ durch 6,0 cm². Das Rohr verengt sich auf 2,0 cm². Bestimme die neue mittlere Geschwindigkeit.
Lösung
A₁v₁ = A₂v₂, also v₂ = (6,0/2,0) × 2,0 = 6,0 m s⁻¹.
Verzweigung
Ein stationärer inkompressibler Volumenstrom von 12 L·s⁻¹ erreicht eine Verzweigung. Ein Zweig führt 4 L·s⁻¹. Bestimme den Volumenstrom im anderen Zweig, wenn keine Speicherung stattfindet.
Lösung
Q₂ = 12 − 4 = 8 L s⁻¹.
Kompressible Strömung
Warum reicht A₁v₁ = A₂v₂ nicht aus, wenn sich die Gasdichte deutlich ändert?
Lösung
Weil der Volumenstrom bei veränderlicher Dichte nicht erhalten bleibt. Für stationäre Strömung mit einem Einlass und einem Auslass gilt ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂.