Curgere și continuitate
Ecuația de continuitate este în primul rând o expresie a conservării masei, nu doar o formulă pentru conducte. Îngustările, ramificațiile, duzele și curgerile compresibile sunt variații ale aceluiași bilanț.
Debit volumic și debit masic
Printr-o secțiune de arie A, un fluid cu viteza medie normală v parcurge în timpul Δt distanța vΔt, astfel încât ΔV≈AvΔt și Q=dV/dt=Av. Unitatea lui Q este m³·s⁻¹.
Dacă densitatea este ρ, debitul masic este ṁ=ρAv. Aceasta este relația mai generală, deoarece masa se conservă chiar dacă densitatea se modifică.
Continuitatea ca lege de conservare a masei
Într-o curgere staționară cu o intrare și o ieșire, masa nu se acumulează în regiunea aleasă, deci ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Pentru un fluid incomprimabil ρ₁=ρ₂, iar A₁v₁=A₂v₂=Q.
Dacă aria scade la un sfert, viteza medie crește de patru ori. În ecuație apare aria, nu diametrul, astfel încât trebuie ținut cont de relația A∝d².
Exemplu: o duză
Apa curge printr-un furtun de diametru 3,0 cm cu 1,5 m·s⁻¹ și intră într-o duză de 1,0 cm. Deoarece A∝d², A₁/A₂=9, astfel v₂=13,5 m·s⁻¹. Viteza crește de nouă ori, nu de trei ori.
Ramificații și acumulare
Nod staționar incomprimabil
Qintrare=Q₁+Q₂+…. Suma debitelor volumice care ies este egală cu debitul care intră.
Bilanț general de masă
ṁintrare−ṁieșire=dMinterior/dt. Dacă un rezervor se umple sau se golește, debitul de intrare și cel de ieșire nu trebuie să fie egale în acel moment. Continuitatea nu înseamnă deci același debit în fiecare ramură.
Forma locală a ecuației de continuitate
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
Primul termen măsoară variația locală a densității, iar divergența arată dacă fluxul de masă se împrăștie dintr-o regiune mică sau converge în ea. Pentru o curgere incomprimabilă apare adesea ∇·u=0. „Incomprimabil” înseamnă că un element de fluid în mișcare își păstrează aproximativ densitatea.
Continuitatea nu este ecuația lui Bernoulli
Continuitate
Provine din conservarea masei și leagă ρ, A și v.
Bernoulli
Provine dintr-un bilanț energetic, sub ipoteze suplimentare, și leagă presiunea, viteza și altitudinea de-a lungul unei linii de curent.
O îngustare poate mări viteza prin continuitate, dar continuitatea singură nu determină presiunea. Pentru aceasta este necesară o relație de impuls sau energie și ipotezele ei.
Experiment și limitele modelului
Un test simplu este colectarea fluidului la ieșire pentru un timp măsurat. Volumul împărțit la timp dă Q; din diametrul interior aflăm A și apoi viteza medie v=Q/A. Repetarea cu o altă duză testează direct relația dintre arie și viteză.
Forma A₁v₁=A₂v₂ presupune o curgere staționară, incomprimabilă, fără pierderi și fără acumulare între secțiuni. Pentru un gaz cu densitate variabilă folosiți ρAv; pentru un rezervor care se umple includeți acumularea; o scurgere este o ieșire suplimentară.
Exerciții
Îngustarea unei conducte
Un lichid incomprimabil curge cu 2,0 m·s⁻¹ prin 6,0 cm², iar conducta se îngustează la 2,0 cm². Determinați noua viteză medie.
Soluție
A₁v₁=A₂v₂, deci v₂=(6,0/2,0)×2,0=6,0 m·s⁻¹.
Ramificație
Un debit staționar de 12 L·s⁻¹ ajunge la o ramificație. O ramură transportă 4 L·s⁻¹. Care este debitul celeilalte dacă nu există acumulare?
Soluție
Q₂=12−4=8 L·s⁻¹.
Curgere compresibilă
De ce A₁v₁=A₂v₂ nu este suficientă când densitatea unui gaz variază semnificativ?
Soluție
Debitul volumic nu se conservă când densitatea se schimbă. Pentru curgere staționară se folosește ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂.