Escoamento e continuidade
A equação da continuidade não é, essencialmente, uma fórmula sobre tubos. É uma afirmação de conservação da massa. Uma vez compreendida essa ideia, contrações, ramificações, bocais e até problemas de escoamento compressível tornam-se variações do mesmo argumento de conservação.
Caudal volumétrico e caudal mássico
Considere uma secção transversal de área A. Num curto intervalo Δt, o fluido com velocidade normal média v percorre uma distância vΔt, pelo que o volume que atravessa a secção é aproximadamente ΔV = AvΔt. Assim:
Q = dV/dt = Av
Q é o caudal volumétrico, em m³·s⁻¹.
Se a densidade for ρ, a massa que atravessa a secção por segundo é ṁ = ρAv. Esta é a grandeza mais geral porque a massa se conserva mesmo quando a densidade varia.
Continuidade como conservação da massa
Num escoamento estacionário com uma entrada e uma saída, a massa não pode acumular-se na região escolhida. Os caudais mássicos têm de ser iguais:
ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂
Para um fluido incompressível, ρ₁ = ρ₂, logo:
A₁v₁ = A₂v₂ = Q
Se a área diminuir para um quarto, a velocidade média aumenta por um fator quatro. A geometria importa porque é a área, e não o diâmetro, que aparece na equação.
Exemplo resolvido: um bocal
A água escoa por uma mangueira de diâmetro 3,0 cm a 1,5 m·s⁻¹ e entra num bocal de diâmetro 1,0 cm.
Como A ∝ d², A₁/A₂ = (3,0/1,0)² = 9.
Então v₂ = (A₁/A₂)v₁ = 9 × 1,5 = 13,5 m s⁻¹.
A velocidade aumenta por um fator nove, e não três, porque reduzir o diâmetro a um terço reduz a área a um nono.
Ramificações e acumulação
Junção com escoamento estacionário incompressível
Qentrada = Q₁ + Q₂ + …
O caudal volumétrico total que sai é igual ao caudal volumétrico total que entra.
Balanço geral de massa
ṁentrada − ṁsaída = dMinterior/dt
Se um depósito estiver a encher ou a esvaziar, a entrada e a saída não têm de ser iguais nesse instante.
Esta perspetiva de volume de controlo evita um erro frequente: continuidade não significa que todos os ramos tenham de transportar o mesmo caudal.
Forma local da equação
A fórmula para tubos é um caso particular de uma equação de campo:
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
O primeiro termo mede a variação local da densidade; o termo de divergência mede se o fluxo de massa se afasta de uma pequena região ou converge para ela. Para um escoamento incompressível, uma consequência comum é ∇·u = 0.
“Incompressível” significa que um elemento de fluido em movimento mantém essencialmente a mesma densidade. Não exige que todos os pontos de todos os problemas tenham sempre o mesmo valor numérico de densidade.
Continuidade não é Bernoulli
Continuidade
Resulta da conservação da massa.
Relaciona ρ, A e v.
Bernoulli
Resulta de um balanço de energia sob hipóteses adicionais.
Relaciona pressão, velocidade e altura ao longo de uma linha de corrente.
Uma contração pode obrigar a velocidade a aumentar por continuidade, mas a continuidade por si só não determina a pressão. Para determinar a pressão é necessária uma relação de quantidade de movimento ou de energia, juntamente com as respetivas hipóteses.
Experiência e limites do modelo
Um ensaio simples consiste em recolher o fluido de saída durante um intervalo de tempo medido. O volume recolhido dividido pelo tempo dá Q; medindo o diâmetro interno obtém-se A e, portanto, a velocidade média v = Q/A. Repetir com um bocal diferente testa diretamente a relação entre área e velocidade.
A forma simples A₁v₁ = A₂v₂ pressupõe escoamento estacionário e incompressível, sem fugas nem acumulação entre as secções. Para um gás cuja densidade varia significativamente, use ρAv. Para um depósito que está a encher, inclua a acumulação. Para uma conduta com fuga, inclua a fuga como uma saída adicional.
Exercícios
Contração de uma tubagem
Um líquido incompressível escoa a 2,0 m·s⁻¹ através de 6,0 cm². A tubagem estreita-se para 2,0 cm². Determine a nova velocidade média.
Solução
A₁v₁ = A₂v₂, logo v₂ = (6,0/2,0) × 2,0 = 6,0 m s⁻¹.
Junção
Um escoamento estacionário incompressível de 12 L·s⁻¹ chega a uma junção. Um ramo transporta 4 L·s⁻¹. Determine o caudal do outro ramo se não houver acumulação.
Solução
Q₂ = 12 − 4 = 8 L s⁻¹.
Escoamento compressível
Porque é que A₁v₁ = A₂v₂ é insuficiente quando a densidade do gás varia significativamente?
Solução
Porque o caudal volumétrico não se conserva quando a densidade varia. Para um escoamento estacionário com uma entrada e uma saída, use ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂.