Stroum a Kontinuitéit
D’Kontinuitéitsgläichung ass net virun allem eng Päifformel. Si seet, datt d’Mass muss bilanziert sinn. Verengungen, Verzweigungen, Düsen a kompressibel Stréimunge si Varianten vum selwechte Erhalungsprinzip.
Volumen- a Massestroum
Bei engem Querschnitt A beweegt sech e Fluid mat mëttlerer normaler Vitess v an Δt ëm vΔt. Dofir ass Q=dV/dt=Av. Mat Dicht ρ ass de Massestroum ṁ=ρAv; dëst ass déi méi allgemeng Erhalungsgréisst, och wann d’Dicht ännert.
Stationär eendimensional Kontinuitéit
Ouni Massespäicherung tëscht zwou Sektioune gëllt ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Fir praktesch inkompressibel Flëssegkeet gëtt A₁v₁=A₂v₂. v ass eng mëttel normal Vitess am Querschnitt an net onbedéngt iwwerall lokal gläich.
Beispill: eng Düs
Waasser leeft an engem Schlauch vun 3,0 cm Duerchmiesser mat 1,5 m s⁻¹ an eng Düs vun 1,0 cm. Well A∝d², ass A₁/A₂=9 an domat v₂=13,5 m s⁻¹. D’Vitess klëmmt ëm de Faktor néng, net dräi.
Verzweigungen a Späicherung
Stationär inkompressibel Verzweigung
Qin=Q₁+Q₂+…
Allgemeng Massebilanz
ṁin−ṁout=dM/dt
Bei enger stationärer inkompressibeler Verzweigung ass Qan=Q₁+Q₂+…. Allgemeng: ṁan−ṁeraus=dMbannen/dt. E Behälter, dee gefëllt gëtt, kann also momentan méi Zoustroum wéi Ofstroum hunn.
Lokal Form vun der Gläichung
D’Feldgläichung ass ∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0. Den éischten Term beschreift lokal Dichtännerung, d’Divergenz de netto Massentransport aus enger klenger Regioun. Bei inkompressibelem Stroum ass dacks ∇·u=0.
Kontinuitéit ass net Bernoulli
Kontinuitéit
ρ, A, v
Bernoulli
p, v, z
Kontinuitéit kënnt aus der Massenerhalung a verbënnt ρ, A a v. Bernoulli kënnt ënner zousätzleche Viraussetzungen aus enger Energiebilanz a verbënnt Drock, Vitess an Héicht. Kontinuitéit eleng bestëmmt de Drock net.
Experiment a Modellgrenzen
Een kann de Volumen an enger bekannter Zäit sammelen: V/t gëtt Q, an aus dem bannenzege Duerchmiesser kritt een A an v=Q/A. A₁v₁=A₂v₂ setzt stationär, inkompressibel Stréimung ouni Leck oder Späicherung viraus. Bei Gas mat staarker Dichtännerung muss ρAv benotzt ginn.
D’v an Q=Av ass eng mëttel normal Vitess iwwer de Querschnitt. Bei reeller viskoser Stréimung ass d’lokal Vitess an der Mëtt an un der Mauer net gläich. De Volumenstroum ass eigentlech d’Integral vun der normaler Vitess iwwer d’Fläch; Av benotzt deen entspriechende Mëttelwäert.
Bei enger Verzweigung musse weder d’Vitessen nach d’Volumenstréim gläich sinn. Nëmmen d’gesamt Massebilanz muss stëmmen. Verschidden Querschnëtter a Stréimungswidderstänn kënnen de Stroum ganz ongläich verdeelen.
Bei kompressibelem Gas kënnen Dicht, Vitess, Drock an Temperatur zesumme variéieren. Dofir ass ρAv déi richteg Massestroumgréisst an eng komplett Léisung brauch normalerweis zousätzlech thermodynamesch Informatioun.
Kontinuitéit bestëmmt de Drock net. D’Ausso “méi séier heescht manner Drock” kënnt nëmmen ënner bestëmmte Viraussetzungen aus enger Energie- oder Impulsbilanz. D’Gesetzer getrennt ze halen verhënnert eng heefeg Verwiesselung.
D’Kontrollvolumen-Siicht ass besonnesch praktesch bei méi Zou- an Ausgäng. Et muss een net déi selwecht Fluidpartikele verfollegen: een hält Bilan iwwer d’Mass, déi duerch d’Grenzen passéiert, an iwwer d’Mass, déi sech am gewielte Volumen akkumuléiert.
Übungen
Päifverengung
Eng Flëssegkeet leeft mat 2,0 m s⁻¹ duerch 6,0 cm² an duerno duerch 2,0 cm².
Léisung
v₂=6,0 m s⁻¹.
Verzweigung
12 L s⁻¹ kommen eran, 4 L s⁻¹ ginn duerch eng Branche.
Léisung
Déi aner Branche huet 8 L s⁻¹.
Kompressibele Stroum
Firwat geet A₁v₁=A₂v₂ net duer, wann d’Gasdicht staark ännert?
Léisung
Well Volumenstroum net erhale bleift. Et muss ρAv erhale bleiwen.