Dòng chảy và phương trình liên tục

Lưu lượng thể tích và lưu lượng khối lượng

Xét một tiết diện có diện tích A. Trong khoảng thời gian ngắn Δt, chất lưu có vận tốc pháp tuyến trung bình v đi được xấp xỉ vΔt, nên thể tích đi qua là ΔV=AvΔt. Vì thế Q=dV/dt=Av, với đơn vị SI m³·s⁻¹. Nếu khối lượng riêng là ρ, lưu lượng khối lượng là ṁ=ρAv. Đại lượng này tổng quát hơn vì khối lượng vẫn được bảo toàn khi mật độ thay đổi. Tiết diện hẹp hơn chỉ buộc vận tốc trung bình tăng khi cùng một dòng chất lưu không nén được đi liên tục qua nó; đó không phải quy tắc phổ quát rằng “ống hẹp luôn chảy nhanh hơn”.

Liên tục chính là bảo toàn khối lượng

Với dòng ổn định qua một cửa vào và một cửa ra, nếu không có khối lượng tích tụ trong thể tích kiểm soát thì lưu lượng khối lượng phải bằng nhau: ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Với chất lưu không nén được, ρ₁=ρ₂ nên A₁v₁=A₂v₂=Q. Nếu diện tích giảm còn một phần tư, vận tốc trung bình tăng gấp bốn. Điều quan trọng là diện tích, không phải đường kính, xuất hiện trong phương trình.

Ví dụ: vòi phun

Nước chảy trong ống đường kính 3,0 cm với vận tốc 1,5 m·s⁻¹ rồi đi vào vòi phun đường kính 1,0 cm. Vì A∝d², A₁/A₂=(3,0/1,0)²=9. Do đó v₂=9×1,5=13,5 m·s⁻¹. Vận tốc tăng chín lần chứ không phải ba lần vì đường kính giảm ba lần làm diện tích giảm chín lần.

Nhánh dòng và tích trữ

Nút phân nhánh ổn định, không nén được

Nếu không có tích trữ tại nút, Q_in=Q₁+Q₂+…. Tổng lưu lượng ra bằng tổng lưu lượng vào; các nhánh riêng lẻ không nhất thiết bằng nhau.

Cân bằng khối lượng tổng quát

Tổng quát hơn, ṁ_in−ṁ_out=dM_inside/dt. Nếu bể đang đầy lên hoặc cạn đi, lưu lượng vào và ra tại một thời điểm không cần bằng nhau.

Dạng cục bộ của phương trình liên tục

Công thức trong ống chỉ là trường hợp riêng của phương trình trường ∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0. Hạng đầu mô tả biến thiên mật độ cục bộ; hạng phân kỳ cho biết thông lượng khối lượng đang tỏa ra hay hội tụ trong một vùng nhỏ. Với dòng không nén được, hệ quả thường dùng là ∇·u=0. “Không nén được” nghĩa là một phần tử chất lưu chuyển động giữ mật độ gần như không đổi, chứ không đòi hỏi mọi điểm trong mọi bài toán có cùng một giá trị mật độ.

Liên tục không phải Bernoulli

Thí nghiệm và giới hạn mô hình

Có thể thu chất lưu ở đầu ra trong một thời gian đã đo. Thể tích chia cho thời gian cho Q; đo đường kính trong để có A rồi suy ra v=Q/A. Lặp lại với vòi khác sẽ kiểm tra trực tiếp quan hệ diện tích–vận tốc. Dạng A₁v₁=A₂v₂ giả thiết dòng ổn định, không nén được, không rò và không tích trữ giữa hai tiết diện. Với khí thay đổi mật độ mạnh, dùng ρAv; với bể đang nạp/xả, thêm hạng tích lũy; với đường ống rò, tính chỗ rò như một cửa ra bổ sung.

Bài tập

Ống thu hẹp

Chất lỏng không nén được chảy với 2,0 m·s⁻¹ qua tiết diện 6,0 cm² rồi thu hẹp còn 2,0 cm². Vận tốc trung bình mới là bao nhiêu?

Nút phân nhánh

Dòng không nén được ổn định 12 L·s⁻¹ tới một nút. Một nhánh mang 4 L·s⁻¹. Nếu không có tích trữ, nhánh còn lại bao nhiêu?

Dòng nén được

Vì sao A₁v₁=A₂v₂ không đủ khi mật độ khí thay đổi đáng kể?