Strømning og kontinuitet
Kontinuitetsligningen er ikke først og fremmest en rørformel. Den er et masse-regnskab. Indsnævringer, forgreninger, dyser og kompressible strømninger er variationer over samme bevarelsesargument.
Volumenstrøm og massestrøm
For et tværsnit A bevæger et fluid med gennemsnitlig normal hastighed v sig cirka vΔt på tiden Δt. Derfor er Q=dV/dt=Av. Med densitet ρ er massestrømmen ṁ=ρAv, som er den mere generelle bevarede størrelse, når ρ ændres.
Stationær endimensional kontinuitet
Uden masseophobning mellem to snit gælder ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. For næsten inkompressibel væske bliver det A₁v₁=A₂v₂. v er den gennemsnitlige normale hastighed over snittet, ikke nødvendigvis den samme lokale hastighed overalt.
Gennemregnet eksempel: en dyse
Vand løber i en slange med diameter 3,0 cm ved 1,5 m s⁻¹ og ind i en dyse med diameter 1,0 cm. Fordi A∝d² er A₁/A₂=9, og derfor v₂=13,5 m s⁻¹. Hastigheden bliver ni gange større, ikke tre gange.
Forgreninger og lagring
Stationær inkompressibel forgrening
Qin=Q₁+Q₂+…
Generel massebalance
ṁin−ṁout=dM/dt
Ved en stationær inkompressibel forgrening er Qind=Q₁+Q₂+…. Mere generelt er ṁind−ṁud=dMinde/dt. En tank kan derfor have forskellig ind- og udstrømning, mens den fyldes eller tømmes.
Lokal form af ligningen
Feltformen er ∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0. Første led måler lokal densitetsændring; divergensleddet måler netto massestrøm ud af et lille område. For inkompressibel strømning følger ofte ∇·u=0.
Kontinuitet er ikke Bernoulli
Kontinuitet
ρ, A, v
Bernoulli
p, v, z
Kontinuitet kommer fra massebevarelse og forbinder ρ, A og v. Bernoulli kommer under yderligere antagelser fra en energibalance og forbinder tryk, hastighed og højde. En indsnævring kan øge hastigheden via kontinuitet, men kontinuitet alene bestemmer ikke trykket.
Forsøg og modelgrænser
Saml udløbsvæske i en målt tid for at finde Q, og mål den indvendige diameter for at finde A og v=Q/A. A₁v₁=A₂v₂ kræver stationær, inkompressibel strømning uden lækage eller lagring. Ved stor ændring i gasdensitet skal ρAv bruges.
v i Q=Av er en tværsnitsmiddelværdi. I virkelig viskøs strømning kan den lokale hastighed variere meget fra væg til centrum. Volumenstrømmen er egentlig integralet af den normale hastighed over arealet; Av bruger den middelhastighed, der giver samme integral.
Ved en forgrening behøver hverken hastigheder eller volumenstrømme at være ens. Kun den samlede massebalance skal stemme. Forskellige arealer og hydrauliske modstande kan fordele strømmen meget ujævnt uden at bryde kontinuiteten.
I kompressibel gasstrømning kan densitet, tryk, temperatur og hastighed ændres samtidig. Derfor er ρAv den korrekte endimensionale massestrøm, og en fuld løsning kræver typisk yderligere termodynamisk information.
Kontinuitet bestemmer ikke i sig selv trykket. Udsagnet “højere hastighed giver lavere tryk” følger kun under bestemte antagelser af en energi- eller momentumbalance. At holde lovene adskilt gør deres gyldighedsbetingelser tydelige.
Kontrolvolumen-formen er særlig nyttig, når der er flere indløb eller udløb. Man behøver ikke følge de samme fluidpartikler; man vælger et fast område og holder regnskab med den masse, der passerer grænsefladerne, plus den masse der eventuelt ophobes indeni.
Opgaver
Rørindsnævring
En væske løber 2,0 m s⁻¹ gennem 6,0 cm² og derefter 2,0 cm².
Løsning
v₂=6,0 m s⁻¹.
Forgrening
12 L s⁻¹ kommer ind, og én gren fører 4 L s⁻¹.
Løsning
Den anden fører 8 L s⁻¹.
Kompressibel strømning
Hvorfor er A₁v₁=A₂v₂ utilstrækkelig, når gasdensiteten ændres meget?
Løsning
Fordi volumenstrømmen ikke er bevaret. Bevar ρAv.