Flöde och kontinuitet
Kontinuitetsekvationen är inte främst en formel för rör. Den är ett massbokslut. Förträngningar, förgreningar, munstycken och kompressibla flöden är variationer av samma bevaranderesonemang.
Volymflöde och massflöde
Genom ett tvärsnitt A färdas ett fluid med genomsnittlig normalhastighet v ungefär sträckan vΔt under tiden Δt. Därför är Q=dV/dt=Av. Med densitet ρ är massflödet ṁ=ρAv, den mer allmänna bevarade storheten när ρ ändras.
Stationär endimensionell kontinuitet
Utan massackumulation mellan två snitt gäller ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. För nästan inkompressibel vätska blir detta A₁v₁=A₂v₂. v är den genomsnittliga normalhastigheten över tvärsnittet, inte nödvändigtvis samma lokala hastighet överallt.
Löst exempel: ett munstycke
Vatten går i en slang med diametern 3,0 cm vid 1,5 m s⁻¹ och in i ett munstycke med diametern 1,0 cm. Eftersom A∝d² är A₁/A₂=9 och v₂=13,5 m s⁻¹. Hastigheten ökar nio gånger, inte tre.
Förgreningar och lagring
Stationär inkompressibel förgrening
Qin=Q₁+Q₂+…
Allmän massbalans
ṁin−ṁout=dM/dt
Vid en stationär inkompressibel förgrening gäller Qin=Q₁+Q₂+…. Allmänt gäller ṁin−ṁut=dMinne/dt. En tank som fylls eller töms kan därför ha olika in- och utflöde i samma ögonblick.
Ekvationens lokala form
Fältformen är ∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0. Första termen mäter lokal densitetsändring; divergenstermen mäter nettomassflödet ut ur en liten region. För inkompressibelt flöde följer ofta ∇·u=0.
Kontinuitet är inte Bernoulli
Kontinuitet
ρ, A, v
Bernoulli
p, v, z
Kontinuitet följer av massans bevarande och kopplar ρ, A och v. Bernoulli följer under ytterligare antaganden av en energibalans och kopplar tryck, hastighet och höjd. En förträngning kan tvinga upp hastigheten, men kontinuitet ensam bestämmer inte trycket.
Experiment och modellgränser
Samla utloppsvätska under uppmätt tid för att få Q och mät innerdiametern för A och v=Q/A. A₁v₁=A₂v₂ kräver stationärt, inkompressibelt flöde utan läckage eller lagring. Vid stor ändring av gasdensitet ska ρAv användas.
v i Q=Av är ett tvärsnittsmedelvärde. I verkligt visköst flöde kan den lokala hastigheten skilja mycket mellan vägg och centrum. Volymflödet är egentligen integralen av den normala hastighetskomponenten över arean; Av använder det medelvärde som ger samma integral.
Vid en förgrening behöver varken hastigheter eller volymflöden vara lika. Bara den totala massbalansen måste stämma. Olika tvärsnitt och hydrauliska motstånd kan fördela flödet mycket ojämnt utan att bryta kontinuiteten.
I kompressibelt gasflöde kan densitet, tryck, temperatur och hastighet ändras samtidigt. Därför är ρAv rätt endimensionellt massflöde och en fullständig lösning kräver vanligen ytterligare termodynamisk information.
Kontinuitet bestämmer inte trycket i sig. Påståendet “högre hastighet ger lägre tryck” följer bara under särskilda antaganden av en energi- eller momentumbalans. Att hålla lagarna isär gör deras giltighetsvillkor tydliga.
Kontrollvolymmetoden är särskilt användbar när flera in- eller utlopp finns. Man behöver inte följa samma fluidpartiklar; man bokför massan som passerar gränsytorna och massan som eventuellt ackumuleras i den valda volymen. Det är kontinuitetsprincipen i sin mest praktiska form.
Övningar
Rörförträngning
En vätska går 2,0 m s⁻¹ genom 6,0 cm² och sedan 2,0 cm².
Lösning
v₂=6,0 m s⁻¹.
Förgrening
12 L s⁻¹ kommer in och en gren tar 4 L s⁻¹.
Lösning
Den andra tar 8 L s⁻¹.
Kompressibelt flöde
Varför räcker inte A₁v₁=A₂v₂ när gasdensiteten ändras kraftigt?
Lösning
Volymflödet bevaras inte. Bevara ρAv.