Écoulement et continuité
L’équation de continuité n’est pas d’abord une formule sur les tuyaux : c’est l’expression d’un bilan de masse. Une fois cette idée comprise, rétrécissements, ramifications, buses et même écoulements compressibles deviennent des variantes du même raisonnement de conservation.
Débit volumique et débit massique
Considérons une section d’aire A. Pendant une courte durée Δt, un fluide de vitesse normale moyenne v parcourt la distance vΔt ; le volume qui traverse la section vaut donc approximativement ΔV = AvΔt. Ainsi :
Q = dV/dt = Av
Q est le débit volumique, exprimé en m³·s⁻¹.
Si la masse volumique vaut ρ, la masse qui traverse la section par seconde est ṁ = ρAv. Cette grandeur est plus générale, car la masse reste conservée même lorsque la masse volumique varie.
La continuité comme conservation de la masse
Pour un écoulement permanent comportant une entrée et une sortie, la masse ne peut pas s’accumuler dans la région considérée. Les débits massiques doivent donc être égaux :
ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂
Pour un fluide incompressible, ρ₁ = ρ₂, donc :
A₁v₁ = A₂v₂ = Q
Si l’aire est divisée par quatre, la vitesse moyenne est multipliée par quatre. C’est l’aire, et non le diamètre, qui intervient dans l’équation.
Exemple résolu : une buse
De l’eau circule dans un tuyau de diamètre 3,0 cm à 1,5 m·s⁻¹ puis pénètre dans une buse de diamètre 1,0 cm.
Comme A ∝ d², A₁/A₂ = (3,0/1,0)² = 9.
Puis v₂ = (A₁/A₂)v₁ = 9 × 1,5 = 13,5 m·s⁻¹.
La vitesse est multipliée par neuf, et non par trois, car diviser le diamètre par trois divise l’aire par neuf.
Branches et accumulation
Jonction incompressible en régime permanent
Qentrant = Q₁ + Q₂ + …
Le débit volumique total sortant est égal au débit volumique total entrant.
Bilan massique général
ṁentrant − ṁsortant = dMintérieur/dt
Si un réservoir se remplit ou se vide, les débits entrant et sortant n’ont pas à être égaux à cet instant.
Cette approche par volume de contrôle évite une erreur fréquente : la continuité n’impose pas le même débit dans chaque branche.
Forme locale de l’équation
La formule des conduites n’est qu’un cas particulier d’une équation de champ :
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
Le premier terme mesure la variation locale de masse volumique ; le terme de divergence indique si le flux de masse s’écarte d’une petite région ou y converge. Pour un écoulement incompressible, une conséquence fréquente est ∇·u = 0.
« Incompressible » signifie qu’un élément de fluide conserve pratiquement la même masse volumique au cours de son mouvement. Cela ne signifie pas que chaque point de chaque problème doit toujours avoir exactement la même valeur numérique de ρ.
La continuité n’est pas l’équation de Bernoulli
Continuité
Découle de la conservation de la masse.
Elle relie ρ, A et v.
Bernoulli
Découle d’un bilan d’énergie avec des hypothèses supplémentaires.
Elle relie pression, vitesse et altitude le long d’une ligne de courant.
Un rétrécissement peut imposer une augmentation de vitesse par continuité, mais la continuité seule ne détermine pas la pression. Pour la pression, il faut une relation de quantité de mouvement ou d’énergie, avec les hypothèses correspondantes.
Expérience et limites du modèle
Un test simple consiste à recueillir le fluide sortant pendant une durée mesurée. Le volume recueilli divisé par le temps donne Q ; la mesure du diamètre intérieur donne A, puis une vitesse moyenne v = Q/A. Recommencer avec une autre buse teste directement la relation entre aire et vitesse.
La forme simple A₁v₁ = A₂v₂ suppose un écoulement permanent, incompressible, sans fuite ni accumulation entre les deux sections. Pour un gaz dont la masse volumique varie fortement, il faut utiliser ρAv. Pour un réservoir en cours de remplissage, il faut ajouter l’accumulation ; pour une conduite qui fuit, la fuite constitue une sortie supplémentaire.
Exercices
Rétrécissement d’une conduite
Un liquide incompressible s’écoule à 2,0 m·s⁻¹ dans une section de 6,0 cm². La conduite se rétrécit à 2,0 cm². Calculer la nouvelle vitesse moyenne.
Solution
A₁v₁ = A₂v₂, donc v₂ = (6,0/2,0) × 2,0 = 6,0 m·s⁻¹.
Jonction
Un écoulement incompressible permanent de 12 L·s⁻¹ arrive à une bifurcation. Une branche transporte 4 L·s⁻¹. Quel est le débit de l’autre branche s’il n’y a aucune accumulation ?
Solution
Q₂ = 12 − 4 = 8 L·s⁻¹.
Écoulement compressible
Pourquoi A₁v₁ = A₂v₂ ne suffit-elle pas lorsque la masse volumique d’un gaz varie fortement ?
Solution
Parce que le débit volumique n’est alors pas conservé. Pour un écoulement permanent avec une entrée et une sortie, on utilise ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂.