Tok i kontinuitet

Volumni i maseni protok

Za približno jednolik tok kroz presjek vrijedi Q = dV/dt = Av, gdje je v srednja okomita komponenta brzine. Maseni protok je ṁ = ρAv.

Jedinica za Q je m³/s, a za ṁ kg/s. Kod nejednolikog profila brzine Av je sažeti zapis integrala po cijelom presjeku.

Kontinuitet kao očuvanje mase

Za stacionarni tok s jednim ulazom i izlazom vrijedi ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂. Ako je gustoća praktično stalna, dobiva se A₁v₁ = A₂v₂ = Q.

U užem dijelu nestlačivog toka prosječna brzina mora biti veća. Taj zaključak dolazi iz bilance mase, a ne iz jednadžbe za tlak.

Promjer nije površina

Za kružnu cijev A = πD²/4. Prepolovljen promjer znači četiri puta manju površinu, pa se pri istom Q prosječna brzina povećava četiri puta.

Česta je pogreška skalirati brzinu izravno s promjerom. U jednadžbi kontinuiteta uspoređuju se površine presjeka.

Grananje i akumulacija

U stacionarnom čvoru za nestlačivu tekućinu vrijedi Q_in = Q₁ + Q₂ + …. Ako se gustoća mijenja, sigurnije je bilancirati masene protoke.

Ako se masa unutar kontrolnog volumena mijenja, vrijedi ṁ_in − ṁ_out = dM_inside/dt. Veći dotok od odtoka zato znači akumulaciju.

Lokalni oblik

Opći lokalni zapis je ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0. Povezuje vremensku promjenu gustoće s divergencijom masenog toka.

Za tok stalne gustoće slijedi ∇·u = 0. To ne znači da je brzina svugdje jednaka; mogu se mijenjati i iznos i smjer.

Kontinuitet nije Bernoullijeva jednadžba

Kontinuitet izražava očuvanje mase. Bernoullijeva jednadžba pod određenim pretpostavkama povezuje tlak, brzinu i visinu kroz bilancu mehaničke energije.

Viskoznost, pumpe i stlačivost mogu promijeniti energetsku bilancu, ali očuvanje mase i dalje mora vrijediti.

Odabir kontrolnih presjeka

Presjeke biramo ondje gdje se površina i srednja brzina mogu smisleno odrediti. Najprije zapišemo sve ulaze, izlaze i akumulaciju, a zatim uvrštavamo brojke.

Ako u stacionarnom stanju zbroj ulaznih masenih protoka nije jednak izlaznima, nedostaje grana ili je model pogrešan.

Srednja brzina i stvarni profil

Brzina u stvarnoj cijevi nije nužno jednaka u svim točkama presjeka. U laminarnom toku profil je zakrivljen, a uz stijenku brzina zbog uvjeta bez klizanja pada prema nuli dok je u sredini veća.

U izrazu Q = Av zato v predstavlja odgovarajuću srednju brzinu kroz presjek. Brzinu izmjerenu u samo jednoj točki ne smije se bez poznavanja profila automatski uzeti kao tu srednju vrijednost.

Riješeni primjeri

1. 12 cm² na 4 cm²

2. Prepolovljen promjer

3. Grananje