유체 흐름과 연속 방정식

체적 유량과 질량 유량

단면적 A인 면을 생각합시다. 짧은 시간 Δt 동안 평균 법선 속도 v인 유체는 약 vΔt 이동하므로 통과 부피는 ΔV=AvΔt입니다. 따라서 Q=dV/dt=Av이며 Q의 SI 단위는 m³·s⁻¹입니다. 밀도가 ρ이면 질량 유량은 ṁ=ρAv입니다. 밀도가 변해도 질량은 보존되므로 질량 유량이 더 일반적인 양입니다. 좁은 단면에서 평균 속도가 커진다는 말은 같은 비압축성 흐름이 이어질 때의 결과이지, 모든 좁은 관에 적용되는 독립적인 법칙은 아닙니다.

연속 방정식은 질량 보존이다

정상 유동에서 하나의 입구와 하나의 출구를 가진 검사체적 내부에 질량이 쌓이지 않는다면 질량 유량이 같아야 합니다. ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. 비압축성이라면 ρ₁=ρ₂이므로 A₁v₁=A₂v₂=Q. 면적이 1/4로 줄면 평균 속도는 4배가 됩니다. 식에는 지름이 아니라 면적이 들어갑니다.

예제: 노즐

지름 3.0 cm인 호스에서 물이 1.5 m·s⁻¹로 흐르다가 지름 1.0 cm 노즐로 들어갑니다. A∝d²이므로 A₁/A₂=(3.0/1.0)²=9. 따라서 v₂=9×1.5=13.5 m·s⁻¹. 지름이 3배 줄면 면적은 9배 줄기 때문에 속도는 3배가 아니라 9배 증가합니다.

분기와 저장

정상 비압축성 분기

저장이 없는 분기점에서는 Q_in=Q₁+Q₂+…. 유출 총량이 유입 총량과 같다는 뜻이지, 각 가지의 유량이 같다는 뜻은 아닙니다.

일반적인 질량 수지

일반적으로 ṁ_유입 − ṁ_유출 = dM_내부/dt입니다. 탱크가 채워지거나 비워지는 중이라면 한 순간의 유입과 유출은 같지 않아도 됩니다.

연속 방정식의 국소 형태

관에서 쓰는 식은 더 일반적인 장 방정식 ∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0의 특수한 경우입니다. 첫 항은 국소 밀도 변화, 발산 항은 작은 영역에서 질량 플럭스가 퍼져 나가거나 모이는 정도를 나타냅니다. 비압축성 흐름에서는 흔히 ∇·u=0이 됩니다. “비압축성”은 유체 요소가 이동하면서 밀도를 거의 유지한다는 뜻이지 모든 위치의 밀도 수치가 항상 같아야 한다는 뜻은 아닙니다.

연속 방정식과 베르누이 방정식은 다르다

실험과 모델의 한계

출구 유체를 일정 시간 모아 부피를 시간으로 나누면 Q를 측정할 수 있고, 내경으로 A를 구하면 평균 속도 v=Q/A를 얻습니다. 다른 노즐로 반복하면 면적–속도 관계를 직접 시험할 수 있습니다. A₁v₁=A₂v₂는 정상, 비압축성, 누설 없음, 두 단면 사이 저장 없음이 전제입니다. 밀도가 크게 변하는 기체에는 ρAv를 쓰고, 탱크가 차거나 비워지면 축적항을 포함하며, 누설은 추가 출구로 계산해야 합니다.

연습 문제

관 수축

비압축성 액체가 6.0 cm² 단면을 2.0 m·s⁻¹로 흐르다가 2.0 cm²로 좁아집니다. 새로운 평균 속도는?

분기점

12 L·s⁻¹의 정상 비압축성 유량이 분기점에 들어오고 한 가지가 4 L·s⁻¹입니다. 저장이 없다면 다른 가지는?

압축성 유동

기체 밀도가 크게 변할 때 A₁v₁=A₂v₂만으로 부족한 이유는?