Flujo y continuidad
La ecuación de continuidad no es, ante todo, una fórmula sobre tuberías. Expresa que la masa debe conservarse. Una vez entendida esta idea, las contracciones, ramificaciones, boquillas e incluso los problemas de flujo compresible son variaciones del mismo principio de conservación.
Caudal volumétrico y caudal másico
Considera una sección transversal de área A. En un intervalo corto Δt, el fluido con velocidad normal media v recorre una distancia vΔt, de modo que el volumen que atraviesa la sección es aproximadamente ΔV = AvΔt. Por tanto:
Q = dV/dt = Av
Q es el caudal volumétrico, en m³·s⁻¹.
Si la densidad es ρ, la masa que atraviesa la sección por segundo es ṁ = ρAv. Esta es la magnitud más general porque la masa se conserva incluso cuando cambia la densidad.
Continuidad como conservación de la masa
En un flujo estacionario con una entrada y una salida, la masa no puede acumularse dentro de la región elegida. Los caudales másicos deben ser iguales:
ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂
Para un fluido incompresible, ρ₁ = ρ₂, por tanto:
A₁v₁ = A₂v₂ = Q
Si el área se reduce a una cuarta parte, la velocidad media aumenta por un factor de cuatro. La geometría importa porque en la ecuación aparece el área, no el diámetro.
Ejemplo resuelto: una boquilla
El agua circula por una manguera de 3,0 cm de diámetro a 1,5 m·s⁻¹ y entra en una boquilla de 1,0 cm de diámetro.
Como A ∝ d², A₁/A₂ = (3,0/1,0)² = 9.
Entonces v₂ = (A₁/A₂)v₁ = 9 × 1,5 = 13,5 m s⁻¹.
La velocidad aumenta por un factor de nueve, no de tres, porque reducir el diámetro a un tercio reduce el área a una novena parte.
Ramificaciones y acumulación
Unión con flujo estacionario e incompresible
Qentrada = Q₁ + Q₂ + …
El caudal volumétrico total que sale es igual al caudal volumétrico total que entra.
Balance general de masa
ṁentrada − ṁsalida = dMinterior/dt
Si un depósito se está llenando o vaciando, el caudal de entrada y el de salida no tienen por qué ser iguales en ese instante.
Esta perspectiva de volumen de control evita un error frecuente: la continuidad no implica que todas las ramas deban transportar el mismo caudal.
Forma local de la ecuación
La fórmula para tuberías es un caso particular de una ecuación de campo:
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
El primer término mide el cambio local de densidad; el término de divergencia mide si el flujo másico se dispersa desde una región pequeña o converge hacia ella. Para un flujo incompresible, una consecuencia habitual es ∇·u = 0.
«Incompresible» significa que un elemento de fluido en movimiento mantiene esencialmente la misma densidad. No exige que todos los puntos de todos los problemas tengan exactamente la misma densidad numérica en cualquier circunstancia.
Continuidad no es Bernoulli
Continuidad
Procede de la conservación de la masa.
Relaciona ρ, A y v.
Bernoulli
Procede de un balance de energía bajo hipótesis adicionales.
Relaciona presión, velocidad y altura a lo largo de una línea de corriente.
Una contracción puede obligar a aumentar la velocidad por continuidad, pero la continuidad por sí sola no determina la presión. Para hallar la presión se necesita una relación de cantidad de movimiento o de energía y las hipótesis correspondientes.
Experimento y límites del modelo
Una prueba sencilla consiste en recoger el fluido de salida durante un tiempo medido. El volumen recogido dividido por el tiempo da Q; midiendo el diámetro interior se obtiene A y, por tanto, una velocidad media v = Q/A. Repetir el ensayo con otra boquilla permite comprobar directamente la relación entre área y velocidad.
La forma simple A₁v₁ = A₂v₂ supone flujo estacionario e incompresible, sin fugas ni acumulación entre las secciones. Para un gas cuya densidad cambia de forma apreciable, utiliza ρAv. Para un depósito que se llena, incluye la acumulación. Para una conducción con fuga, incluye la fuga como una salida adicional.
Ejercicios
Contracción de una tubería
Un líquido incompresible circula a 2,0 m·s⁻¹ por una sección de 6,0 cm². La tubería se estrecha hasta 2,0 cm². Calcula la nueva velocidad media.
Solución
A₁v₁ = A₂v₂, por tanto v₂ = (6,0/2,0) × 2,0 = 6,0 m s⁻¹.
Unión
Un flujo estacionario e incompresible de 12 L·s⁻¹ llega a una unión. Una rama transporta 4 L·s⁻¹. Calcula el caudal de la otra rama si no hay acumulación.
Solución
Q₂ = 12 − 4 = 8 L s⁻¹.
Flujo compresible
¿Por qué A₁v₁ = A₂v₂ es insuficiente cuando la densidad de un gas cambia de forma apreciable?
Solución
Porque el caudal volumétrico no se conserva cuando cambia la densidad. Para un flujo estacionario con una entrada y una salida, utiliza ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂.