การไหลและสมการความต่อเนื่อง

บัญชีพื้นฐานที่สุดของการไหลคือการอนุรักษ์มวล ถ้า ควบคุมระดับเสียง ไม่สะสมมวลใน การไหลที่มั่นคง อัตราการไหลมวลที่เข้าเท่ากับที่ออก สำหรับของไหล บีบอัดไม่ได้ หลักนี้ลดรูปเป็น A₁v₁=A₂v₂

ที่มาของสมการความต่อเนื่อง

กฎอนุรักษ์มวลสำหรับ ควบคุมระดับเสียง เขียนเชิงแนวคิดว่า การสะสม = การไหลเข้า − การไหลออก ใน สถานะคงที่ การสะสมเป็นศูนย์ จึงได้ Σṁ_ใน=Σṁ_ออก สำหรับ ทางเข้า และ ทางออก ที่ เครื่องแบบ: ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂

ถ้า ความหนาแน่น แทบคงที่จึงได้ A₁v₁=A₂v₂ สมการนี้มาจากการอนุรักษ์มวล ไม่ได้บอกความดันโดยตัวมันเอง ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกับ ความกดดัน ต้องใช้สมการ โมเมนตัม หรือ เบอร์นูลลี เพิ่ม

อัตราการไหลของปริมาตร กับ อัตราการไหลของมวล

Q=ดีวี/dt มีหน่วย m³ s⁻¹ และถ้า ชุดโปรไฟล์ความเร็ว ใช้ Q=อ ส่วน อัตราการไหลของมวล คือ ṁ=DM/dt=ρQ=ρอ ในแก๊ส บีบอัดได้ ค่า Q อาจเปลี่ยนตามหน้าตัดแต่ ṁ ยังเท่ากันได้ใน การไหลแบบกระแสเดียวที่มั่นคง

ถ้า โปรไฟล์ ไม่ เครื่องแบบ สูตรที่แม่นกว่าคือ Q=∫v·dA ค่า ความเร็วเฉลี่ย นิยามให้ Q=v_เฉลี่ยเอ ไม่ควรใช้ความเร็วที่จุดกึ่งกลางแทนค่าเฉลี่ยโดยอัตโนมัติ

เบอร์นูลลี ใช้เมื่อใด

สำหรับ มั่นคง, บีบอัดไม่ได้ และ ความหนืด ต่ำตาม ปรับปรุง หนึ่ง ใช้ p+½ρv²+ρกซ=คงที่ ได้ เป็น ความสมดุล ของพลังงานกลต่อปริมาตร ไม่ใช่สูตร สากล สำหรับของไหลทุกชนิด

ถ้ามี ปั๊ม, กังหัน, การสูญเสียความหนืด หรือ การบีบอัด สำคัญ ต้องเพิ่ม เงื่อนไข ที่เหมาะสม ในท่อจริง ความกดดัน มักลดตามระยะเพราะ แรงเสียดทาน แม้พื้นที่หน้าตัดคงที่

มั่นคง ไม่ได้แปลว่าไม่มี การเร่งความเร็ว

การไหลที่มั่นคง หมายถึง สนาม ที่จุดคงที่ไม่เปลี่ยนตามเวลา แต่ อนุภาคของเหลว ยังเร่งได้ถ้า ปรับปรุง โค้งหรือพื้นที่หน้าตัดเปลี่ยน เพราะ ความเร็ว ของอนุภาคเปลี่ยนระหว่างตำแหน่งต่าง ๆ

ปรับปรุง เป็นเส้นสัมผัสกับ สนามความเร็ว ณ ขณะหนึ่ง ใน เส้นทางการไหลที่มั่นคง อาจตรงกับ ปรับปรุง แต่ใน การไหลไม่มั่นคง ไม่จำเป็น

การตรวจคำตอบเชิงวิศวกรรม

ที่ ทางแยก ของเครือข่ายท่อ ใช้ การอนุรักษ์มวลชน เป็นหลัก ถ้าของไหล ความหนาแน่น เดียวกันและไม่มีการกักเก็บ จึงค่อยลดเป็นผลรวม Q เข้าเท่ากับผลรวม Q ออก

ตรวจหน่วย: A·v ต้องให้ m³ s⁻¹ ถ้าท่อแคบลงแต่คำนวณความเร็วลดลงทั้งที่ Q คงที่ แสดงว่าสลับอัตราส่วนพื้นที่

ควบคุมระดับเสียง และการสะสม

ถ้าการไหลไม่ มั่นคง สมการต้องเก็บเทอมการสะสมมวลภายใน ควบคุมระดับเสียง ด้วย เช่น ระดับของเหลวในถังที่กำลังเติมเพิ่มขึ้นแม้มีทางออกอยู่ การตั้ง ไหลเข้า=ไหลออก โดยอัตโนมัติจะผิดในช่วง ชั่วคราว

ในเครือข่ายจริง ควรเขียนทิศบวกของแต่ละ สาขา ให้ชัด แล้วใช้ผลรวมเชิงเครื่องหมาย วิธีนี้ลดความสับสนเมื่อบางสาขาไหลย้อนจากที่คาดไว้

สมการพลังงานกับสมการความต่อเนื่อง

สมการความต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวไม่ให้ทั้ง ความกดดัน และ ความเร็ว พร้อมกัน ถ้าโจทย์มีการเปลี่ยนระดับหรือความดัน ต้องใช้สมการพลังงานหรือ โมเมนตัม ร่วมด้วย ตัวอย่างเช่น หัวฉีด ที่ทำให้พื้นที่เล็กลงบังคับให้ v สูงขึ้นจาก ความต่อเนื่อง แต่ขนาด ความดันลดลง ต้องอาศัย เบอร์นูลลี หรือโมเดลที่รวม การสูญเสีย

ในระบบที่มีหลาย ทางเข้า และ ทางออก วิธีที่ปลอดภัยคือกำหนด พื้นผิวการควบคุม ชัดเจน เขียน ฟลักซ์มวล ρv·n ผ่านแต่ละผิว และรวมด้วยเครื่องหมายตามทิศ ปกติ วิธีนี้ขยายจากโจทย์ท่อหนึ่งมิติไปสู่ CFD และ กลศาสตร์ของไหล ระดับสูงได้โดยตรง

แบบฝึกหัด

ท่อแคบลง

A₁=4.0 cm², v₁=2.0 m/s, A₂=1.0 cm²

เฉลย: v₂=8.0 m/s

อัตราการไหล

A=3.0×10⁻⁴ m², v=5.0 m/s

เฉลย: Q=1.5×10⁻³ m³/s

อัตราการไหลมวล

น้ำ ρ≈1000 kg/m³ และ Q ข้างต้น

เฉลย: ṁ≈1.5 kg/s