Рівняння неперервності потоку
Рівняння неперервності виражає збереження маси у потоці. Для стаціонарної нестисливої рідини воно спрощується до A₁v₁ = A₂v₂: у вужчій ділянці труби середня швидкість має зрости, якщо той самий об’єм рідини проходить щосекунди.
Збереження маси
У загальному вигляді треба стежити не лише за об’ємом, а за масовою витратою ρAv. Якщо густина змінюється, як у стисливому газі, рівність Av між двома перерізами вже не є достатньою. Основою завжди залишається баланс маси: маса не зникає всередині контрольного об’єму без джерела або стоку.
Нестисливе наближення
Для води при помірних тисках густина майже стала, тому ρ скорочується і отримуємо A₁v₁=A₂v₂. Це не означає, що кожна частинка рухається з однаковою швидкістю; v тут — середня швидкість через переріз. Біля стінок в’язкість створює профіль швидкостей.
Що змінюється у звуженні
Якщо площа зменшується удвічі, середня швидкість в ідеальному стаціонарному нестисливому потоці подвоюється. Це безпосередньо вимірюється витратою. Але тиск не визначається самим рівнянням неперервності; для зв’язку швидкості з тиском потрібні додаткові рівняння, наприклад Бернуллі за відповідних умов.
Потік у розгалуженні
У вузлі труб сумарна масова витрата на вході дорівнює сумарній масовій витраті на виході. Для однакової густини це означає, що об’ємні витрати додаються. Такий баланс є аналогом закону струмів Кірхгофа, але фізично тут зберігається маса рідини.
Коли модель ламається
При нестаціонарному потоці маса може тимчасово накопичуватися у контрольному об’ємі. У газах при великих змінах тиску густина істотно змінюється. При витоках або хімічних джерелах треба додавати відповідні члени. Тому A₁v₁=A₂v₂ — спеціальний наслідок ширшого закону.
Зв’язок з Бернуллі
У нев’язкому потоці вздовж лінії течії збереження механічної енергії дає рівняння Бернуллі. Разом з неперервністю воно дозволяє пояснити, чому у горизонтальному звуженні швидкість зростає, а статичний тиск часто падає. Для реальної в’язкої рідини є втрати енергії, тому простий результат потребує поправок.
Практичні застосування
Витратоміри Вентурі, сопла, кровоносні судини та повітропроводи аналізують через баланс потоку. У медицині звуження судини може збільшувати локальну швидкість, але реальна гемодинаміка включає пульсації, еластичні стінки та в’язкість. Саме тому формула є стартом, а не повною моделлю.
Вправа
Вода тече по трубі, площа якої зменшується з 4 см² до 2 см². Якщо середня швидкість до звуження 1,5 м/с, якою буде швидкість після нього у нестисливому стаціонарному наближенні?
Розв’язання
A₁v₁=A₂v₂, тому v₂=(4/2)×1,5=3,0 м/с. Швидкість подвоюється, бо площа перерізу зменшилась удвічі.