Przepływ i równanie ciągłości

Strumień objętości i masy

Dla przepływu prawie jednorodnego przez przekrój Q = dV/dt = Av, gdzie A jest polem przekroju, a v średnią składową prędkości prostopadłą do przekroju. Strumień masy ma postać ṁ = ρAv.

Q ma jednostkę m³/s, natomiast ṁ — kg/s. Gdy profil prędkości jest nierównomierny, Av należy rozumieć jako skrót wyniku całkowania prędkości po całej powierzchni przekroju.

Ciągłość wynika z zachowania masy

Dla ustalonego przepływu z jednym wlotem i wylotem ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂. Jeśli gęstość jest praktycznie stała, otrzymujemy A₁v₁ = A₂v₂ = Q.

W zwężeniu nieściśliwego strumienia mniejsze A wymaga większej średniej prędkości. To wniosek z bilansu objętości i masy, a nie samodzielne twierdzenie o ciśnieniu.

Pole przekroju zależy od kwadratu średnicy

Dla kołowej rury A = πD²/4. Zmniejszenie średnicy do połowy daje pole cztery razy mniejsze, więc przy tym samym Q idealna średnia prędkość rośnie czterokrotnie.

Częsty błąd polega na proporcjonalnym skalowaniu v z samą średnicą. W równaniu ciągłości występuje pole, dlatego trzeba najpierw przeliczyć geometrię przekroju.

Rozgałęzienia i magazynowanie

W ustalonym węźle dla cieczy nieściśliwej Q_in = Q₁ + Q₂ + …. Dla przepływu ściśliwego lub różnych gęstości bezpieczniej bilansować strumienie masy.

Jeśli masa wewnątrz objętości kontrolnej zmienia się w czasie, ogólny bilans ma postać ṁ_in − ṁ_out = dM_inside/dt. Zbiornik może więc mieć większy dopływ niż odpływ, ale wtedy jego zawartość rośnie.

Postać lokalna

Najbardziej ogólny zapis zachowania masy w polu przepływu to ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0. Łączy zmiany gęstości w czasie z przestrzenną zbieżnością strumienia masy.

Dla przepływu nieściśliwego o stałej gęstości prowadzi to do ∇·u = 0. Nie znaczy to, że prędkość jest wszędzie taka sama — tylko że lokalnie nie powstaje ani nie ginie objętość płynu.

Ciągłość to nie Bernoulli

Ciągłość mówi o zachowaniu masy. Równanie Bernoulliego, gdy jego założenia są spełnione, wiąże ciśnienie, prędkość i wysokość poprzez bilans energii mechanicznej. To dwa różne prawa.

W rzeczywistych rurach lepkość powoduje straty energii, pompy dodają energię, a gazy mogą zmieniać gęstość. Równanie ciągłości nadal obowiązuje, ale prosty model A₁v₁ = A₂v₂ może wymagać uogólnienia.

Jak dobierać przekrój kontrolny

Warto wybrać przekroje tam, gdzie pole i średnią prędkość można sensownie określić. Następnie zapisujemy wszystkie wloty, wyloty i ewentualną akumulację, zanim zaczniemy podstawiać liczby.

Kontrola jednostek i znaku przepływu szybko ujawnia błędy. Jeśli w stanie ustalonym suma strumieni masy wpływających nie równa się sumie wypływających, model lub dane są niekompletne.

Przykłady rozwiązane

1. Pole spada z 12 do 4 cm²

2. Średnica maleje o połowę

3. Rozgałęzienie