Stroming en continuïteit
De continuïteitsvergelijking is niet in de eerste plaats een formule voor buizen. Ze zegt dat massa moet kloppen. Vernauwingen, vertakkingen, spuitmonden en samendrukbare stroming zijn varianten van dezelfde behoudsredenering.
Volumestroom en massastroom
Voor een doorsnede A legt vloeistof met gemiddelde normale snelheid v in tijd Δt ongeveer vΔt af. Dus ΔV=AvΔt en Q=dV/dt=Av. Met dichtheid ρ is de massastroom ṁ=ρAv; die blijft de juiste behoudsgrootheid wanneer ρ verandert.
Stationaire eendimensionale continuïteit
Zonder massa-opslag tussen twee doorsneden geldt ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Voor vrijwel onsamendrukbare vloeistof wordt dit A₁v₁=A₂v₂. v is de gemiddelde normale snelheid, niet noodzakelijk dezelfde lokale snelheid in elk punt.
Uitgewerkt voorbeeld: een spuitmond
Water stroomt door een slang met diameter 3,0 cm bij 1,5 m s⁻¹ en gaat een spuitmond van 1,0 cm in. Omdat A∝d² is A₁/A₂=9 en dus v₂=13,5 m s⁻¹. De snelheid neemt met negen toe, niet met drie, omdat de oppervlakte met het kwadraat van de diameter schaalt.
Vertakkingen en opslag
Stationaire onsamendrukbare vertakking
Qin=Q₁+Q₂+…
Algemene massabalans
ṁin−ṁout=dM/dt
Bij een stationaire onsamendrukbare vertakking is Qin=Q₁+Q₂+…. Algemeen geldt ṁin−ṁuit=dMbinnen/dt. Een tank die vult of leegt kan dus tijdelijk verschillende in- en uitstroom hebben.
Lokale vorm van de vergelijking
De veldvorm is ∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0. De eerste term meet lokale verandering van dichtheid; de divergentie beschrijft netto massaflux uit een kleine regio. Voor onsamendrukbare stroming volgt vaak ∇·u=0.
Continuïteit is niet Bernoulli
Continuïteit
ρ, A, v
Bernoulli
p, v, z
Continuïteit komt uit massabehoud en verbindt ρ, A en v. Bernoulli komt onder extra aannamen uit een energiebalans en verbindt druk, snelheid en hoogte. Een vernauwing kan via continuïteit de snelheid verhogen, maar continuïteit alleen bepaalt de druk niet.
Experiment en modelgrenzen
Meet gedurende een bekende tijd het uitstromende volume om Q te vinden; meet de binnendiameter om A en vervolgens v=Q/A te bepalen. A₁v₁=A₂v₂ vereist stationaire, onsamendrukbare stroming zonder lekkage of opslag. Voor sterk variërende gasdichtheid moet ρAv worden gebruikt.
De snelheid v in Q=Av is een doorsnedegemiddelde. In echte viskeuze stroming is de lokale snelheid bij de wand anders dan in het midden, maar de volumestroom blijft de integraal van de normale snelheidscomponent over het oppervlak. Av gebruikt precies het gemiddelde dat dezelfde integraal oplevert.
Bij een vertakking hoeven noch debieten noch snelheden gelijk te zijn. Alleen de totale massabalans moet kloppen. Verschillende doorsneden en stromingsweerstanden kunnen het inkomende debiet zeer ongelijk over de takken verdelen zonder massabehoud te schenden.
Bij samendrukbare gasstroming kunnen snelheid, druk, temperatuur en dichtheid tegelijk veranderen. Daarom is ρAv de juiste één-dimensionale massastroom en is voor een volledige oplossing meestal extra thermodynamische informatie nodig.
Continuïteit zegt op zichzelf niets definitiefs over druk. De populaire uitspraak “hogere snelheid betekent lagere druk” komt alleen onder specifieke aannamen uit een energie- of impulsbalans. Door de wetten uit elkaar te houden blijven hun geldigheidsvoorwaarden zichtbaar.
Oefeningen
Buisvernauwing
Een vloeistof stroomt 2,0 m s⁻¹ door 6,0 cm² en de buis vernauwt tot 2,0 cm².
Oplossing
v₂=(6,0/2,0)×2,0=6,0 m s⁻¹.
Vertakking
12 L s⁻¹ komt binnen; één tak voert 4 L s⁻¹ af.
Oplossing
De andere tak voert 8 L s⁻¹ af.
Samendrukbare stroming
Waarom is A₁v₁=A₂v₂ niet genoeg wanneer de gasdichtheid sterk verandert?
Oplossing
Omdat volumestroom niet behouden blijft. Gebruik ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂.