Virtauksen jatkuvuusyhtälö
Jatkuvuusyhtälö on massan säilyminen kirjoitettuna liikkuvalle nesteelle tai kaasulle. Se yhdistää poikkipinta-alan, nopeuden ja tiheyden ilman energiaoletusta.
Tilavuusvirta ja massavirta
Tilavuusvirta poikkileikkauksen läpi on Q = Av, kun v tarkoittaa sopivaa pinta-alan keskimääräistä nopeutta. Yksikkö on m³ s⁻¹. Massavirta on ṁ = ρAv ja sen yksikkö kg s⁻¹. Puristuvassa kaasussa ρ voi muuttua putken mukana, vaikka massavirta säilyy.
Jatkuvuus on massan säilymistä
Vakiossa virtauksessa yhden sisäänmenon ja ulostulon välillä ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂. Lähes kokoonpuristumattomalle nesteelle tiheys kumoutuu ja saadaan A₁v₁ = A₂v₂ = Q.
Laskuesimerkki: suutin
Vesi kulkee 3,0 cm halkaisijaisesta putkesta 1,0 cm suuttimeen. Koska pinta-ala ∝ d², A₁/A₂ = 9. Kun v₁ = 1,5 m s⁻¹, jatkuvuus antaa v₂ = 13,5 m s⁻¹. Sama tilavuus sekunnissa kulkee pienemmän alan läpi suuremmalla nopeudella.
Haarautuminen ja varastoituminen
Vakio kokoonpuristumaton haara
Solmussa, johon massaa ei kerry, sisään tuleva tilavuusvirta on ulos menevien summa: Qsisään = Q₁ + Q₂ + ….
Yleinen massatase
Jos kontrollitilavuuteen voi kertyä massaa, ṁsisään − ṁulos = dMsisällä/dt. Vakio tila tarkoittaa oikean puolen nollaa, ei fluidihiukkasten pysähtymistä.
Paikallinen muoto
Jatkuvassa kentässä massan säilyminen on ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0. Vakiotiheydellä se muuttuu muotoon ∇·u = 0. Tämä on sama periaate jokaisessa pienessä tilavuudessa.
Jatkuvuus ei ole Bernoullin yhtälö
Jatkuvuusyhtälö
Jatkuvuus seuraa massan säilymisestä. Se yhdistää eri poikkileikkausten virtaamat mutta ei yksin määrää painetta tai mekaanista energiaa.
Bernoullin yhtälö
Bernoulli yhdistää paineen, nopeuden ja korkeuden tiukemmilla oletuksilla, kuten vakio ja häviötön virtaus pitkin virtaviivaa. Samassa tehtävässä voidaan käyttää molempia yhtälöitä, mutta ne eivät ole sama laki.
Koe ja mallin rajat
Mittaa tunnetussa ajassa kulkenut tilavuus ja vertaa Q = ΔV/Δt arvoon Av. Todellisessa putkessa nopeusprofiili ei ole tasainen, joten v on keskiarvo. Puristuvuus, vuodot ja ajan mukana muuttuva virtaus vaativat yleisemmän muodon.
Harjoitukset
Putken supistus
Kokoonpuristumaton fluidi kulkee 6,0 cm² alueelta nopeudella 2,0 m s⁻¹ alueelle 2,0 cm². Laske v₂.
Ratkaisu
v₂ = (A₁/A₂)v₁ = (6,0/2,0) × 2,0 = 6,0 m s⁻¹.
Haarakohta
Solmuun tulee 12 L s⁻¹ ja yhdestä haarasta poistuu 4 L s⁻¹. Paljonko toisesta?
Ratkaisu
12 = 4 + Q₂, joten Q₂ = 8 L s⁻¹.
Puristuva virtaus
Mikä säilyy kahdessa poikkileikkauksessa vakiossa yksiulotteisessa puristuvassa virtauksessa?
Ratkaisu
Massavirta ρAv. Pelkkä Av ei välttämättä säily, koska ρ voi muuttua.
Jatkuvuus ei yksin sano, mikä paine kapenevassa putkessa vallitsee. Se kertoo massan säilymisen vaatiman nopeuden muutoksen. Paineen määrittämiseen tarvitaan lisäksi dynamiikkaa, energiayhtälöä tai reunaehtoja.
Ajan mukana sykkivässä virtauksessa sisään- ja ulosvirtaus voivat hetkellisesti erota. Kontrollitilavuuden massatase tekee tällöin näkyväksi, että erotus vastaa alueelle kertyvän massan muutosnopeutta.
Tutki yhteyksiä: Kaikki kurssit · Alkuaineet