Prúdenie a rovnica kontinuity
Rovnica kontinuity nie je predovšetkým „vzorec pre potrubie“. Je matematickým zápisom zachovania hmotnosti. Zúženie, dýza, vetvenie aj stlačiteľný tok sú potom rôzne použitia tej istej bilančnej myšlienky.
Objemový a hmotnostný prietok
Q = dV/dt = Av · ṁ = ρAv
Uvažujme prierez s plochou A. Za krátky čas Δt prejde tekutina s priemernou normálovou rýchlosťou v približne dráhu vΔt, takže objem je ΔV=AvΔt. Preto Q=dV/dt=Av, pričom Q má jednotku m³·s⁻¹. Pri hustote ρ je hmotnostný prietok ṁ=ρAv. Ten je všeobecnejší, pretože hmotnosť sa musí zachovať aj pri zmene hustoty. Užší prierez znamená väčšiu priemernú rýchlosť iba vtedy, keď ním prechádza ten istý ustálený tok bez akumulácie alebo úniku hmoty.
Kontinuita je zachovanie hmotnosti
ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂
Pri ustálenom prúdení kontrolným objemom s jedným vstupom a jedným výstupom, bez hromadenia hmoty vo vnútri, musia byť hmotnostné prietoky rovnaké: ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Pre prakticky nestlačiteľnú tekutinu ρ₁=ρ₂, a teda A₁v₁=A₂v₂=Q. Ak sa plocha zmenší na štvrtinu, priemerná rýchlosť sa zväčší štyrikrát. V rovnici vystupuje plocha, nie priemer.
Príklad: dýza
Voda tečie hadicou s priemerom 3,0 cm rýchlosťou 1,5 m·s⁻¹ a vstupuje do dýzy s priemerom 1,0 cm. Keďže A∝d², A₁/A₂=(3,0/1,0)²=9. Preto v₂=13,5 m·s⁻¹. Rýchlosť narastie deväťkrát, nie trikrát, pretože trojnásobné zmenšenie priemeru znamená deväťnásobné zmenšenie plochy.
Vetvenie a akumulácia
Ustálené vetvenie nestlačiteľnej tekutiny
Ak sa vo vetvení nič neakumuluje, platí Qin=Q₁+Q₂+…. Súčet odtokov sa rovná prítoku, jednotlivé vetvy však nemusia mať rovnaké prietoky.
Všeobecná bilancia hmotnosti
Všeobecne ṁin−ṁout=dMinside/dt. Ak sa nádrž plní alebo vyprázdňuje, okamžitý prítok a odtok nemusia byť rovnaké; rozdiel mení množstvo hmoty vo vnútri.
Lokálny tvar rovnice kontinuity
Potrubný vzťah je osobitným prípadom všeobecnej rovnice poľa ∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0. Prvý člen opisuje lokálnu zmenu hustoty, divergencia zasa vyjadruje, či hmotnostný tok z malej oblasti odteká alebo sa do nej zbieha. Pri nestlačiteľnom prúdení často dostávame ∇·u=0. „Nestlačiteľné“ znamená, že pohybujúci sa element tekutiny si zachováva takmer rovnakú hustotu; neznamená to nevyhnutne rovnakú číselnú hustotu v každom bode každej úlohy.
Kontinuita nie je Bernoulliho rovnica
Rovnica kontinuity
Vychádza zo zachovania hmotnosti a prepája ρ, A a v. Určuje, ako sa musí prietok prispôsobiť geometrii a zmene hustoty.
Bernoulliho rovnica
Vychádza z energetickej bilancie za ďalších predpokladov a spája tlak, rýchlosť a výšku pozdĺž prúdnice. Kontinuita môže určiť zmenu rýchlosti v zúžení, sama však tlak neurčí.
Meranie a hranice modelu
Prietok možno zmerať zberom kvapaliny na výstupe počas známeho času. Objem delený časom dá Q; z vnútorného priemeru určíme A a priemernú rýchlosť v=Q/A. Opakovaním s rôznymi dýzami možno priamo testovať vzťah plochy a rýchlosti. A₁v₁=A₂v₂ predpokladá ustálený nestlačiteľný tok bez netesností a akumulácie medzi prierezmi. Pri plyne s výrazne meniacou sa hustotou treba použiť ρAv; pri plniacej sa nádrži pridať akumulačný člen; netesnosť je ďalší výstup.
Úlohy
1. Zúženie potrubia
Nestlačiteľná kvapalina tečie rýchlosťou 2,0 m·s⁻¹ cez prierez 6,0 cm² a potrubie sa zúži na 2,0 cm². Aká bude nová priemerná rýchlosť?
Riešenie
Z A₁v₁=A₂v₂: v₂=(6,0/2,0)×2,0=6,0 m·s⁻¹.
2. Rozvetvenie
Do rozvetvenia priteká ustálený nestlačiteľný prietok 12 L·s⁻¹. Jednou vetvou odtekajú 4 L·s⁻¹. Koľko odteká druhou bez akumulácie?
Riešenie
Q₂=12−4=8 L·s⁻¹.
3. Stlačiteľné prúdenie
Prečo A₁v₁=A₂v₂ nestačí, keď sa hustota plynu výrazne mení?
Riešenie
Pretože pri zmene hustoty sa nezachováva samotný objemový prietok. Pre ustálený tok s jedným vstupom a výstupom použijeme ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂.