Flusso e continuità
L’equazione di continuità non è principalmente una formula sui tubi. Esprime il bilancio della massa. Una volta chiara questa idea, restringimenti, diramazioni, ugelli e persino problemi di flusso comprimibile diventano varianti dello stesso principio di conservazione.
Portata volumetrica e portata massica
Considera una sezione trasversale di area A. In un breve intervallo Δt, il fluido con velocità normale media v percorre una distanza vΔt; il volume che attraversa la sezione è quindi circa ΔV = AvΔt. Pertanto:
Q = dV/dt = Av
Q è la portata volumetrica, in m³·s⁻¹.
Se la densità è ρ, la massa che attraversa la sezione ogni secondo è ṁ = ρAv. Questa è la grandezza più generale perché la massa si conserva anche quando la densità cambia.
Continuità come conservazione della massa
Per un flusso stazionario con un ingresso e un’uscita, la massa non può accumularsi nella regione considerata. Le portate massiche devono coincidere:
ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂
Per un fluido incomprimibile, ρ₁ = ρ₂, quindi:
A₁v₁ = A₂v₂ = Q
Se l’area si riduce a un quarto, la velocità media aumenta di un fattore quattro. La geometria conta perché nell’equazione compare l’area, non il diametro.
Esempio svolto: un ugello
L’acqua scorre in un tubo flessibile di diametro 3,0 cm a 1,5 m·s⁻¹ ed entra in un ugello di diametro 1,0 cm.
Poiché A ∝ d², A₁/A₂ = (3,0/1,0)² = 9.
Quindi v₂ = (A₁/A₂)v₁ = 9 × 1,5 = 13,5 m s⁻¹.
La velocità aumenta di un fattore nove, non tre, perché ridurre il diametro a un terzo riduce l’area a un nono.
Diramazioni e accumulo
Nodo con flusso stazionario incomprimibile
Qingresso = Q₁ + Q₂ + …
La portata volumetrica totale in uscita è uguale alla portata volumetrica totale in ingresso.
Bilancio generale di massa
ṁingresso − ṁuscita = dMinterno/dt
Se un serbatoio si sta riempiendo o svuotando, in quell’istante la portata in ingresso e quella in uscita non devono necessariamente essere uguali.
La prospettiva del volume di controllo evita un errore comune: la continuità non implica che ogni diramazione debba avere la stessa portata.
Forma locale dell’equazione
La formula per i tubi è un caso particolare di un’equazione di campo:
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
Il primo termine misura la variazione locale di densità; il termine di divergenza misura se il flusso di massa si allontana da una piccola regione o converge verso di essa. Per un flusso incomprimibile, una conseguenza comune è ∇·u = 0.
“Incomprimibile” significa che un elemento di fluido in movimento mantiene sostanzialmente la stessa densità. Non significa che, in ogni problema e in qualsiasi circostanza, ogni punto debba avere lo stesso valore numerico della densità.
La continuità non è Bernoulli
Continuità
Deriva dalla conservazione della massa.
Collega ρ, A e v.
Bernoulli
Deriva da un bilancio energetico sotto ipotesi aggiuntive.
Collega pressione, velocità e quota lungo una linea di corrente.
Un restringimento può imporre un aumento della velocità attraverso la continuità, ma la continuità da sola non determina la pressione. Per la pressione serve una relazione di quantità di moto o di energia, con le relative ipotesi.
Esperimento e limiti del modello
Un semplice esperimento consiste nel raccogliere il fluido in uscita per un intervallo di tempo misurato. Il volume raccolto diviso per il tempo fornisce Q; misurando il diametro interno si ricava A e quindi la velocità media v = Q/A. Ripetendo l’esperimento con un ugello diverso si verifica direttamente la relazione area–velocità.
La forma semplice A₁v₁ = A₂v₂ presuppone flusso stazionario e incomprimibile, senza perdite né accumulo tra le sezioni. Per un gas la cui densità cambia sensibilmente, si usa ρAv. Per un serbatoio che si riempie, va incluso l’accumulo. Per una linea con una perdita, la perdita va considerata come un’uscita aggiuntiva.
Esercizi
Restringimento di un tubo
Un liquido incomprimibile scorre a 2,0 m·s⁻¹ attraverso una sezione di 6,0 cm². Il tubo si restringe a 2,0 cm². Calcola la nuova velocità media.
Soluzione
A₁v₁ = A₂v₂, quindi v₂ = (6,0/2,0) × 2,0 = 6,0 m s⁻¹.
Diramazione
Un flusso stazionario incomprimibile di 12 L·s⁻¹ raggiunge una diramazione. Un ramo trasporta 4 L·s⁻¹. Calcola la portata nell’altro ramo se non vi è accumulo.
Soluzione
Q₂ = 12 − 4 = 8 L s⁻¹.
Flusso comprimibile
Perché A₁v₁ = A₂v₂ non è sufficiente quando la densità del gas cambia in modo significativo?
Soluzione
Perché la portata volumetrica non si conserva quando la densità cambia. Per un flusso stazionario con un ingresso e un’uscita si usa ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂.